ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Μια συνάρτηση $f$ λέγεται:
Γνησίως αύξουσα σ’ένα διάστημα $\Delta \subseteq A_{f},$ όταν για οποιαδήποτε $x_{1},x_{2}\in \Delta$ με $x_{1}< x_{2}$ ισχύει:

$f(x_{1})<f(x_{2}).$

Γνησίως φθίνουσα σ’ένα διάστημα $\Delta \subseteq A_{f},$ όταν για οποιαδήποτε
$x_{1},x_{2}\in\Delta$ με $x_{1}< x_{2}$ ισχύει:

$f(x_{1})>f(x_{2}).$

Για την εύρεση της μονοτονίας μιας συνάρτησης, με την χρήση του ορισμού, πρέπει να γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες για την διάταξη των πραγματικών αριθμών.
AN

$\left\{ \begin{tabular}{ll} $\alpha > 0$ \\ $ \beta>0$ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \alpha +\beta>0$

ΑΝ

$\left\{ \begin{tabular}{ll} $\alpha < 0$ \\ $ \beta <0$ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \alpha +\beta<0$

ΑΝ $\alpha, \beta$ ομόσημοι, τότε $\alpha\beta>0$ και $\dfrac{\alpha}{\beta}>0.$

ΑΝ $\alpha, \beta$ ετερόσημοι, τότε $\alpha\beta<0$ και $\dfrac{\alpha}{\beta}<0.$

ΓΙΑ ΚΑΘΕ πραγματικό αριθμό $\alpha$ ισχύει $\alpha^{2}\geq 0.$

ΑΝ $\alpha >\beta \Leftrightarrow \alpha + \gamma > \beta +\gamma.$

ΑΝ $\gamma >0$ τότε $\alpha >\beta \Leftrightarrow \alpha \cdot \gamma > \beta \cdot \gamma.$

ΑΝ $\gamma < 0$ τότε $\alpha >\beta \Leftrightarrow \alpha \cdot \gamma < \beta \cdot \gamma.$

$\left\{ \begin{tabular}{ll} $\alpha > \beta $ \\ $ \gamma > \delta $ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \alpha + \gamma >\beta + \delta$

AN $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ θετικοι αριθμοί και

$\left\{ \begin{tabular}{ll} $\alpha > \beta $ \\ $ \gamma > \delta $ \\ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \alpha \cdot\gamma >\beta \cdot \delta$

AN $\alpha, \beta,$ θετικοι αριθμοί και $\nu$ φυσικός διαφορετικος απο το μηδέν με $\alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha^{\nu} > \beta^{\nu}$
AN $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ και $\nu$ φυσικός περιττός με $\alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha^{\nu} > \beta^{\nu}$
AN $\alpha, \beta \geq 0$ με $\alpha > \beta \Leftrightarrow \sqrt{\alpha} >\sqrt{ \beta}$
Παράδειγμα
Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συνάρτηση $f(x)=3x-2.$
Λύση
Η συνάρτηση $f(x)=3x-2$ έχει πεδίο ορισμου $A_{f}=\mathbb{R}$ το οποιο ειναι διάστημα και όχι ενωση διαστημάτων.
Θεωρούμε $x_{1},x_{2} \in A_{f}$ με
$x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow 3x_{1}<3x_{2}\Leftrightarrow 3x_{1}-2<3x_{2}-2\Leftrightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$
Συνεπώς η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $A_{f}=\mathbb{R}.$