ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Μια συνάρτηση f λέγεται:
Γνησίως αύξουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε x_{1},x_{2}\in \Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

    \[f(x_{1})<f(x_{2}).\]

Γνησίως φθίνουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε
x_{1},x_{2}\in\Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

    \[f(x_{1})>f(x_{2}).\]

Για την εύρεση της μονοτονίας μιας συνάρτησης, με την χρήση του ορισμού, πρέπει να γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες για την διάταξη των πραγματικών αριθμών.
AN

    \[\left\{                                                              \begin{tabular}{ll} 		                                         $\alpha > 0$ \\ 		                                           $ \beta>0$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow  \alpha +\beta>0\]

ΑΝ

    \[\left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $\alpha < 0$ \\ 		                                           $ \beta <0$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \alpha +\beta<0\]

ΑΝ \alpha, \beta ομόσημοι, τότε \alpha\beta>0 και \dfrac{\alpha}{\beta}>0.

ΑΝ \alpha, \beta ετερόσημοι, τότε \alpha\beta<0 και\dfrac{\alpha}{\beta}<0.

ΓΙΑ ΚΑΘΕ πραγματικό αριθμό \alpha ισχύει \alpha^{2}\geq 0.

ΑΝ \alpha >\beta \Leftrightarrow \alpha + \gamma > \beta +\gamma.

ΑΝ \gamma >0 τότε \alpha >\beta \Leftrightarrow \alpha \cdot \gamma > \beta \cdot \gamma.

ΑΝ \gamma < 0 τότε \alpha >\beta \Leftrightarrow \alpha \cdot \gamma < \beta \cdot \gamma.

AN

    \[\left\{                                                              \begin{tabular}{ll} 		                                         $\alpha > \beta $ \\ 		                                           $ \gamma > \delta $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow  \alpha + \gamma >\beta + \delta\]

AN \alpha, \beta, \gamma, \delta θετικοι αριθμοί και

    \[\left\{                                                              \begin{tabular}{ll} 		                                         $\alpha > \beta $ \\ 		                                           $ \gamma > \delta $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow  \alpha \cdot\gamma >\beta \cdot \delta\]

AN \alpha, \beta, θετικοι αριθμοί και \nu φυσικός διαφορετικος απο το μηδέν με \alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha^{\nu} > \beta^{\nu}
AN \alpha, \beta \in \mathbb{R} και \nu φυσικός περιττός με \alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha^{\nu} > \beta^{\nu}
AN \alpha, \beta \geq 0 με \alpha > \beta \Leftrightarrow \sqrt{\alpha} >\sqrt{ \beta}
Παράδειγμα
Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συνάρτηση f(x)=3x-2.
Λύση
Η συνάρτηση f(x)=3x-2 έχει πεδίο ορισμου A_{f}=\mathbb{R} το οποιο ειναι διάστημα και όχι ενωση διαστημάτων.
Θεωρούμε x_{1},x_{2} \in A_{f} με
x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow 3x_{1}<3x_{2}\Leftrightarrow 3x_{1}-2<3x_{2}-2\Leftrightarrow f(x_{1})<f(x_{2})
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο A_{f}=\mathbb{R}.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *