ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.2
Δίνονται οι συναρτήσεις

    \[f(x)= 			      \left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 				      $x-2,  \quad x \leq 0$ \\ 				      $x+2, \quad x>0$ \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \]

και

    \[g(x)= 			      \left\{ 			  \begin{tabular}{ll} 				      $1-x,  \quad x<1$ \\ 				      $2-x, \quad x \geq 1$ \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \]

Να ορίσετε τη f \circ g.

Λύση

Θέτουμε για διευκόλυνση:

    \[f_{1}(x)=x-2, \quad \text{με} \quad A_{f_{1}}=(-\infty,0]\]

    \[f_{2}(x)=x+2, \quad \text{με} \quad A_{f_{2}}=(0,+\infty)\]

    \[g_{1}(x)=1-x, \quad \text{με} \quad A_{g_{1}}=(-\infty, 1)\]

    \[g_{2}(x)=2-x, \quad \text{με} \quad A_{g_{2}}=[1, +\infty)\]

Θα βρούμε αν ορίζονται οι συνθέσεις

    \[f_{1} \circ g_{1}, \quad f_{1} \circ g_{2}, \quad  f_{2} \circ g_{1} \quad \text{και} \quad f_{2} \circ g_{2}\]

  • Η συνάρτηση (f_{1} \circ g_{1})(x) ορίζεται όταν:
  •     \begin{align*} & A_{f_{1} \circ g_{1}}=\{x\in A_{g_{1}}\quad / \quad g_{1}(x) \in A_{f_{1}}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in A_{g_{1}}$ \\ 		                                           $ g_{1}(x) \in A_{f_{1}}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in (-\infty, 1)$ \\ 		                                           $ g_{1}(x)\in (-\infty,0]$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x<1 $ \\ 		                                           $1-x \leq 0 $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right.\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x<1 $ \\ 		                                           $1 \leq x $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

    Από τη συναλήθευση των παραπάνω περιορισμών έχουμε ότι
    η (f_{1} \circ g_{1})(x) δεν ορίζεται

  • Η συνάρτηση (f_{1} \circ g_{2})(x) ορίζεται όταν:
  •     \begin{align*} & A_{f_{1} \circ g_{2}}=\{x\in A_{g_{2}}\quad / \quad g_{2}(x) \in A_{f_{1}}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in A_{g_{2}}$ \\ 		                                           $ g_{2}(x) \in A_{f_{1}}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in [1,+\infty)$ \\ 		                                           $ g_{2}(x)\in (-\infty,0]$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in [1,+\infty) $ \\ 		                                           $2-x \in (-\infty,0] $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right.\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\geq 1 $ \\ 		                                           $2-x \leq 0 $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\geq 1 $ \\ 		                                           $2 \leq x $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right.  \Leftrightarrow \\\\  & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\geq 1 $ \\ 		                                           $x\geq 2 $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \end{align*}

    Από τη συναλήθευση των παραπάνω περιορισμών έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της (f_{1} \circ g_{2})(x) είναι το σύνολο A_{f_{1} \circ g_{2}}=[2, +\infty)
    με τύπο:

        \begin{align*} (f_{1} \circ g_{2})(x)&=f_{1}\big( g_{2}(x)\big)\\                       &= g_{2}(x)-2\\                       &=(2-x)-2\\                       &=2-x-2\\                       &=-x \end{align*}

  • Η συνάρτηση (f_{2} \circ g_{1})(x) ορίζεται όταν:
  •     \begin{align*} & A_{f_{2} \circ g_{1}}=\{x\in A_{g_{1}}\quad / \quad g_{1}(x) \in A_{f_{2}}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in A_{g_{1}}$ \\ 		                                           $ g_{1}(x) \in A_{f_{2}}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in (-\infty, 1)$ \\ 		                                           $ g_{1}(x)\in (0, +\infty)$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x<1 $ \\ 		                                           $1-x \in (0, +\infty)$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right.\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x<1 $ \\ 		                                           $1-x >0 $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x<1 $ \\ 		                                           $1 >x $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x<1 $ \\ 		                                          $x<1 $\\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \end{align*}

    Από τη συναλήθευση των παραπάνω περιορισμών έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της (f_{2} \circ g_{1})(x) είναι το σύνολο
    A_{f_{2} \circ g_{1}}=(-\infty,1)

    με τύπο:

        \begin{align*} (f_{2} \circ g_{1})(x)&=f_{2}\big( g_{1}(x)\big)\\                       &= g_{1}(x)+2\\                       &=(1-x)+2\\                       &=1-x+2\\                       &=-x+3. \end{align*}

  • Η συνάρτηση (f_{2} \circ g_{2})(x) ορίζεται όταν:
  •     \begin{align*} & A_{f_{2} \circ g_{2}}=\{x\in A_{g_{1}}\quad / \quad g_{2}(x) \in A_{f_{2}}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in A_{g_{2}}$ \\ 		                                           $ g_{2}(x) \in A_{f_{2}}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in [1, +\infty)$ \\ 		                                           $ g_{2}(x)\in (0, +\infty)$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\geq 1 $ \\ 		                                           $2-x \in (0, +\infty)$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right.\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\geq 1 $ \\ 		                                           $2-x >0 $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\geq 1 $ \\ 		                                           $2 >x $ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\geq 1 $ \\ 		                                          $x<2 $\\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right.\Leftrightarrow \\\\ & 1\leq x<2. \end{align*}

    Από τη συναλήθευση των παραπάνω περιορισμών έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της (f_{2} \circ g_{2}) είναι
    το σύνολο A_{f_{2} \circ g_{2}}=[1,2)
    με τύπο:

        \begin{align*} (f_{2} \circ g_{1})(x)&=f_{2}\big( g_{2}(x)\big)\\                       &= g_{2}(x)+2\\                       &=(2-x)+2\\                       &=2-x+2\\                       &=-x+4. \end{align*}

    ελικά η σύνθεση f \circ g είναι:

        \[(f \circ g)(x)= 	\left\{ 	\begin{tabular}{ll}                 $3-x, \quad x<1$ \\                 $4-x, \quad 1 \leq x<2$ \\  		$-x,  \quad x \geq 2$ \\ 	\end{tabular} 	\right. \]

    με A_{f \circ g}=\mathbb{R}.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *