ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις (f \circ g)(x) και g(x), τότε για να βρούμε τη συνάρτηση f(x) εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε όπου g(x)=u.
  • Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς x.
  • Αντικαθιστούμε το x που βρήκαμε στον τύπο f(g(x).)

  • Παράδειγμα.1
    Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες ισχύουν

        \[f(x)=2x-1 \quad \& \quad (g \circ f)(x)=4x^2+4\]

    Να ορίσετε τη συνάρτηση g.
    Λύση
    Ισχύει

        \begin{align*} 		&(g \circ f)(x)=4x^2+4  \Leftrightarrow\\ 		&(g (f(x))=4x^2+4 \quad (1) 	\end{align*}

    Θέτουμε u=f(x) και έχουμε:

        \begin{align*}                 &f(x)=u\Leftrightarrow\\ 		&2x-1=u \Leftrightarrow\\ 		&2x=u+1 \Leftrightarrow\\ 		&x=\frac{u+1}{2} \quad (2) 	\end{align*}

    Έτσι η σχέση (1) γίνεται:

        \begin{align*} 		&g(f(x))=4x^2+4 \Leftrightarrow\\ 		&g(u)=4\Big(\frac{u+1}{2}\Big)^2+4 \Leftrightarrow\\                 &g(u)=4\cdot\frac{u^{2}+2u+1}{4}+4 \Leftrightarrow\\                 &g(u)=u^{2}+2u+1+4 \Leftrightarrow\\ 		&g(u)=u^2+2u+5 	\end{align*}

    Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή απο u σε x έχουμε ότι:

        \[g(x)=x^2+2x+5, \quad x\in \rr\]

    ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗΣ
    Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις (f \circ g)(x) και f(x), τότε για να βρούμε τη συνάρτηση g(x) εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε όπου g(x)=x στον τύπο της f(x).
  • Έχουμε τη συνάρτηση f(g(x)) με δύο μορφές. Εξισώνουμε τις δύο αυτές μορφές και βρίσκουμε τη g(x).
  • Παράδειγμα.2
    Δίνονται συναρτήσεις f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες ισχύουν

        \[(f \circ g)(x)=3x^2-6x+10 \quad \& \quad f(x)=3x+1\]

    Λύση
    Ισχύει ότι:

        \begin{align*} 		&(f \circ g)(x)=3x^2-6x+10 \Leftrightarrow\\ 		& f(g(x))=3x^2-6x+10 \quad (1) 	\end{align*}

    Στη συνάρτηση f(x)=3x+1, θέτουμε όπου x το g(x) και προκύπτει ότι:

        \[ f(g(x))=3g(x)+1 \quad (2) \]

    Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι

        \begin{align*} 		& 3g(x)+1=3x^2-6x+10 \Leftrightarrow\\	 		& 3g(x)=3x^2-6x+9 \Leftrightarrow\\ 		& g(x)=x^2-2x+3\quad x\in \rr          \end{align*}

    Παράδειγμα.3.
    Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει:

        \[\big( g\circ f\big) = \big| \ef x \big|\quad \text{αν} \quad g(x) = \sqrt{x^{2}-1}.\]

    Λύση
    Έχουμε:

        \begin{align*} &\big( g\circ f\big) = \big| \ef x \big|\Leftrightarrow\\\\ &g\big(f(x)\big) =\big| \ef x \big|\xLeftrightarrow{g(x) = \sqrt{x^{2}-1}}\\\\ & \sqrt{\big(f(x)\big)^{2}-1}=\big| \ef x \big|\Leftrightarrow\\\\ &\Big( \sqrt{\big(f(x)\big)^{2}-1}\Big)^{2}=\Big(\big| \ef x \big|\Big)^{2}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)-1=\ef^{2}x\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\ef^{2}x+ 1\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\Big(\dfrac{\hm x}{\syn x}\Big)^{2}+ 1\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{\hm^{2} x}{\syn^{2} x}+ 1\Leftrightarrow\\ \end{align*}

        \begin{align*} &f^{2}(x)=\accentset{1}{\accentset{\smile}{\dfrac{\hm^{2} x}{\syn^{2} x}}}+\accentset{\syn^{2} x}{\accentset{\smile}{\dfrac{1}{1}}}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{\hm^{2} x}{\syn^{2} x}+ \dfrac{\syn^{2} x}{\syn^{2} x}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{\hm^{2} x+\syn^{2} x}{\syn^{2} x}\Leftrightarrow\\\\ &f^{2}(x)=\dfrac{1}{\syn^{2} x}\Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{f^{2}(x)}=\sqrt{\dfrac{1}{\syn^{2} x}}\Leftrightarrow\\\\ &\Big|f(x)\Big|=\dfrac{1}{\big|\syn x\big|} \quad (1.) \end{align*}

    Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την τη σχέση (1.) είναι άπειρες για παράδειγμα μπορεί να είναι η f(x) = \dfrac{1}{\syn x} \,\, \text{με } x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, \, \kappa \in \mathbb{Z}
    ή f(x) = -\dfrac{1}{\syn x} \,\, \text{με } x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, \, \kappa \in \mathbb{Z}.
    ή οποιαδήποτε συνάρτηση με κλάδους π.χ.

        \[f(x) &=    \begin{cases}    \dfrac{1}{\syn x} & \text{αν}\, x\geq 0,\\\\     -\dfrac{1}{\syn x} & \text{αν } x <0,   \end{cases}\\ \text{με}\, x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, \, \kappa \in \mathbb{Z}.\]

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *