ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω f και g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Αν ισχύει f(A)\cap B \notin \emptyset, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολίζουμε με g \circ f τη συνάρτηση που έχει:

  • Πεδίο ορισμού το σύνολο A_{1}=\{x\in A \quad / \quad f(x) \in B\}
  • Και τύπο (g \circ f)(x)=g(f(x)).
  • Παράδειγμα.1
    Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=\sqrt{x} \quad \text{και} \quad g(x)=-x^2-1. Να βρείτε τις συναρτήσεις:\quad
    i) g \circ f
    ii) f \circ g
    Λύση
    Αρχικά θα βρούμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g.

    Η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x} ορίζεται όταν: x \geq 0
    Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=[0, +\infty )

    Η συνάρτηση g(x)=-x^2-1 ορίζεται όταν για κάθε x\in \mathbb{R}
    Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο A_{g}=\mathbb{R}.

    i)Για να βρούμε την συνάρτηση g \circ f πρέπει να υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της A_{g \circ f} και τον αλγεβρικό της, τύπό.
    Έχουμε:

        \begin{align*} & A_{g \circ f} =\{x\in A_{f} / f(x)\in A_{g}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in A_{f}$ \\ 		                                           $ f(x)\in A_{g}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in [0,+\infty)$ \\ 		                                           $ f(x)\in \mathbb{R}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in [0,+\infty)$ \\ 		                                           $ \sqrt{x}\in \mathbb{R}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \end{align*}

    Επειδή \sqrt{x}\in \mathbb{R} έχουμε μόνο x\in [0, +\infty ), δηλαδή, A_{g \circ f}=[0,+\infty).

    Αλγεβρικός τύπος της g \circ f

        \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g\big(f(x)\big)     \\                     &=-f(x)-1\\                 &=-(\sqrt{x})^2-1\\                &=-x-1.   \end{align*}

    Τελικά \big(g \circ f\big) (x)=-x-1.
    ii)Για να βρούμε την συνάρτηση f \circ g πρέπει να υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της A_{f \circ g} και τον αλγεβρικό της, τύπό.
    Έχουμε:

        \begin{align*} & A_{f \circ g} =\{x\in A_{g} / g(x)\in A_{f}\}\Leftrightarrow \\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in A_{g}$ \\ 		                                           $ g(x)\in A_{f}$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right. \Leftrightarrow\\\\ & \left\{                                                             \begin{tabular}{ll} 		                                         $x\in \mathbb{R}$ \\ 		                                           $ g(x)\in [0, +\infty )$ \\ 	                                               \end{tabular} 	                                                      \right.  \end{align*}

    Επειδή x\in \mathbb{R} έχουμε μόνο g(x)\in [0, +\infty ), δηλαδή

        \begin{align*} & g(x)\in [0, +\infty )\Leftrightarrow \\ & g(x) \geq 0 \Leftrightarrow \\ &-x^2-1 \geq 0 \Leftrightarrow \\ &-1 \geq x^{2} \Leftrightarrow \\ &x^{2}\leq-1. \end{align*}

    Το οποίο είναι αδύνατο άρα η f \circ g δεν ορίζεται.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *