ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω δύο συναρτήσεις f,g με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Τότε οι πράξεις του αθροίσματος, διαφοράς, γινόμενου και πηλίκου ορίζονται ως εξής:

  • S(x)=f(x)+g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • D(x)=f(x)-g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • P(x)=f(x)\cdot g(x), για \quad x \in A\cap B(Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, για \{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\} (Δηλαδή το πηλίκο R έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B, τέτοια ώστε να μην μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το σύνολο \{x \in A\cap B \quad /  \quad g(x) \neq 0\}).
  • Παράδειγμα.1

    Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=\sqrt{x-1} και g(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-3x} Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+g, f-g, f\cdot g και \dfrac{f}{g}.

    Λύση

    Αρχικά θα βρούμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g.
    Η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x-1} ορίζεται όταν

        \begin{align*} 		&x-1 \geq 0 \Leftrightarrow\\ 		&x \geq 1 	\end{align*}

    Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο

        \[A_{f}=[1, +\infty)\]

    Η συνάρτηση

        \[g(x)=\frac{x^2-4}{x^2-3x}\]

    ορίζεται όταν

        \[x^2-3x \neq 0 \Leftrightarrow 		x(x-3)\neq0 \Leftrightarrow 		x\neq0 \quad \& \quad x\neq 3\]

    Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο

        \[A_{g}=\mathbb{R}-\{0,3\}\]

    Οι συναρτήσεις f+g, f-g, f\cdot g έχουν πεδίο ορισμού τα κοινά σημεία των A_{f} και A_{g}, δηλαδή το σύνολο

        \[A=A_{f}\cap A_{g}=[1,3)\cup(3,+\infty)\]

    και τύπους αντίστοιχα

        \[(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{x-1}+\dfrac{x^2-4}{x^2-3x}\]

        \[(f-g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{x-1}-\dfrac{x^2-4}{x^2-3x}\]

        \[(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt{x-1}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-3x}\]

    Τέλος έχουμε

        \begin{align*}Δ 		&g(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow x^{2}=4 \Leftrightarrow x=\pm2 	\end{align*}

    Άρα η συνάρτηση \dfrac{f}{g} έχει πεδίο ορισμού τα κοινά σημεία των A_{f} και A_{g}, εκτός απο τα σημεια που μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή:

        \begin{eqnarray*} 		A_{\frac{f}{g}}	&=& A_{f}\cap A_{g}-\{x \quad / \quad g(x)=0\}\\ 						&=&[1,2)\cup(2,3)\cup(3, +\infty) 	\end{eqnarray*}

    και τύπο

        \[\bigg(\dfrac{f}{g}\bigg)(x)	=\dfrac{f(x)}{g(x)} 							=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\frac{x^2-4}{x^2-3x}} 							=\dfrac{(x^2-3x)\sqrt{x-1}}{x^2-4}\]

    Παράδειγμα.2

    Δίνονται οι συναρτήσεις

        \[f(x)= 	\left\{     \begin{tabular}{ll} 		$x-4,  \quad x \leq 2$ \\ 		$3x-2, \quad x>2$ \\ 	\end{tabular} 	\right. \]

    και

        \[g(x)= 	\left\{ 	\begin{tabular}{ll} 		$2-x, \quad x \leq -1$ \\ 		$x+1,  \quad x>-1$ \\ 	\end{tabular} 	\right. \]

    Να ορίσετε τη συνάρτηση f+g.
    Λύση
    Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων ορίζονται στα κοινά σημεία του πεδίου ορισμού τους. Άρα έχουμε:
    Για x \leq -1

        \[(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-4+2-x=-2\]

    Για -1< x \leq 2

        \[(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-4+x+1=2x-3\]

    Για x >2

        \[(f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x-2+x+1=4x-1\]

    Άρα έχουμε ότι:

        \[(f+g)(x)= 	\left\{     \begin{tabular}{ll}     	$-2,  \quad x \leq -1$ \\ 		$2x-3, \quad -1<x \leq 2$ \\ 		$4x-1, \quad x>2$\\ 	\end{tabular} 	\right. \]

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *