ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε ότι δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες αρκεί να δείξουμε ότι:

  • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και,
  • για κάθε x στο πεδίο ορισμού τους έχουν τον ίδιο τύπο, δηλαδή f(x)=g(x) \quad \forall x \in A

  • Παράδειγμα.1
    Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f,g είναι ίσες με f(x) =\dfrac{e^{2x}-xe^{x}}{x\cdot e^{x}} και g(x)=\dfrac{e^{x}}{x}-1.
    Λύση
    Για την f(x) =\dfrac{e^{2x}-xe^{x}}{x\cdot e^{x}} θα πρέπει x\cdot e^{x}\neq0 επειδή e^{x}>0 για κάθε x\in \mathbb{R} άρα θα πρέπει x\neq 0 οπότε A_{f}=\mathbb{R}-\{0\}.
    Για την g(x)= \dfrac{e^{x}}{x}-1 Θα πρέπει x\neq 0 οπότε A_{g}=\mathbb{R}-\{0\}.
    Αφού A_{f}=A_{g}, δηλαδή οι δυο συναρτήσεις έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού για να είναι ίσες οι συναρτήσεις θα πρέπει να έχουν και τον ίδιο αλγεβρικό τύπο δηλαδή, f(x)=g(x)
    Έχουμε λοιπόν:

        \begin{align*} &f(x)= \dfrac{e^{2x}-xe^{x}}{x\cdot e^{x}}\Leftrightarrow\\\\ &f(x)= \dfrac{\big(e^{x}\big)^{2}-xe^{x}}{x\cdot e^{x}}\Leftrightarrow\\\\ &f(x)= \dfrac{e^{x}\Big(e^{x}-x\Big)}{x\cdot e^{x}}\Leftrightarrow\\\\ &f(x)= \dfrac{e^{x}-x}{x}\Leftrightarrow\\\\ &f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}-\dfrac{x}{x}\Leftrightarrow\\\\ &f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}-1\Leftrightarrow\\\\ &f(x)=g(x). \end{align*}

    Τελικά αφού οι δύο συναρτήσεις f, g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και το ίδιο αλγεβρικό τύπο, άρα οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι ίσες δηλαδη f=g.

    Παράδειγμα.2
    Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f(x)=\dfrac{x^2+2x-8}{x^2-3x+2} και g(x)=\dfrac{x+4}{x-1} είναι ίσες. Αν δεν είναι ίσες να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του \mathbb{R} στο οποίο είναι ίσες.
    Λύση
    Η συνάρτηση

        \[f(x)=\frac{x^2+2x-8}{x^2-3x+2}\]

    ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 		&x^2-3x+2 \neq 0  \Leftrightarrow\\ 		&(x-2)(x-1) \neq 0  \Leftrightarrow\\ 		&x\neq2 \quad \& \quad x\neq1 	\end{align*}

    Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

        \[A_{f}=\mathbb{R}-\{1,2\}.\]

    Η συνάρτηση

        \[g(x)=\frac{x+4}{x-1}\]

    ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 		&x-1 \neq 0  \Leftrightarrow\\ 		&x \neq 1  	\end{align*}

    Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο

        \[A_{g}=\mathbb{R}-\{1\}\]

    Παρατηρούμε A_{f} \neq A_{g}, άρα οι συναρτήσεις f και g δεν είναι ίσες.
    Αν όμως x\in A_{f}\cap A_{g}=\mathbb{R}-\{1,2\}, τότε ισχύει:

        \begin{eqnarray*}         f(x)&=&\dfrac{x^2+2x-8}{x^2-3x+2}\\ 			&=&\dfrac{(x+4)(x-2)}{(x-2)(x-1)}\\ 			&=&\dfrac{x+4}{x-1}\\ 			&=&g(x) 	\end{eqnarray*}

    Άρα για x\in\mathbb{R}-\{1,2\} ισχύει ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.

    Βιβλιογραφία Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *