ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Σημεία γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων

  • Σημείο ανήκει σε C_{f}
  • Ένα σημείο M(x_{0}, y_{0}) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f αν και μόνο αν ισχύει: f(x_{0})=y_{0}

    Σημείο τομής της γραφικης παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες ή με άλλες συναρτήσεις.

    Για να βρούμε:

  • Το σημείο τομής με τον άξονα x'x.
  • Θέτουμε y=0 και λύνουμε την εξίσωση f(x)=0. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής θα μας δώσει τα σημεία τομής.

  • Το σημείο τομής με τον άξονα y'y.
  • Θέτουμε x=0 και λύνουμε την εξίσωση y=f(0). Το σημείο τομής με τον άξονα y'y είναι η λύση της εξίσωσης και είναι το A(0,f(0)). Εφόσον υπάρχει τέτοιο σημείο αυτό είναι και μοναδικό.

  • Τα σημεία τομής δύο συναρτήσεων f(x) και g(x).
  • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=g(x) και οι ρίζες της εξίσωσης αποτελούν τα κοινά σημεία. Αν η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων δεν μας δώσει λύσεις τότε απλά οι συναρτήσεις αυτές δεν έχουν κανένα σημείο τομής.

    Σχετική θεση γραφικής παράστασης της f.

  • Με τον άξονα x'x
  • Για να βρούμε πότε μια συνάρτηση f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x. Λύνουμε την ανίσωση f(x)>0, ενώ για κάτω από τον x'x, λύνουμε την ανίσωση f(x)<0.

  • Με μια άλλη γραφική παράσταση
  • Για να βρούμε σε ποιά διαστήματα μια συνάρτηση f είναι πάνω από μια άλλη συνάρτηση g, λύνουμε την ανίσωση f(x)>g(x).

    Παράδειγμα.1
    Έστω η συνάρτηση f(x)=x^2-10x+9.
    Να βρεθούν τα κοινά σημεία της C_{f}
    i) Με τον άξονα x'x.
    ii) Με τον άξονα y'y.
    iii) Με την συνάρτηση g(x)=-5x+3.
    Λύση
    i) Η C_{f} με y=f(x), τέμνει τον x'x για y=0, δηλαδή f(x)=0 άρα έχουμε x^2-10x+9=0

        \[\Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot9=100-36=64>0\]

        \begin{align*} 							  & x_{1,2}=\frac{-(-10)\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{10\pm8}{2} \Leftrightarrow\\ 							  & \left\{ 						  \begin{tabular}{ll} 								  $x_{1}=9$ \\ 								  $x_{2}=1$ \\ 							  \end{tabular} 								  \right.  						  \end{align*}

    Άρα τα κοινά σημεία με τον x'x είναι τα A(9,0) και B(1,0).

    ii) Αφου το 0\in A_{f}=\mathbb{R} τότε η C_{f} με y=f(x), τέμνει τον y'y για x=0, δηλαδή
    y=f(0)\Leftrightarrow y= 0^2-10\cdot0+9\Leftrightarrow y=9, οπότε το κοινό σημείο με τον y,y είναι το \Gamma(0,9).

    iii) Η C_{f} με y=f(x) τέμνει την C_{g} με y =g(x) όταν

        \begin{align*} 						&f(x)=g(x) \Leftrightarrow\\ 						&x^2-10x+9=-5x+3 \Leftrightarrow\\ 						&x^2-10x+5x+9-3=0 \Leftrightarrow\\ 						&x^2-5x+6=0 					\end{align*}

        \[\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0\]

        \begin{align*} 					& x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5\pm1}{2} \Leftrightarrow\\ 					& \left\{ 					\begin{tabular}{ll} 						$x_{1}=3$ \\ 						$x_{2}=2$ \\ 					\end{tabular} 					\right.  					\end{align*}

    Οπότε x_{1}=3 και x_{2}=2 και

        \begin{eqnarray*} 						g(3)&=&-5\cdot3+3 \\ 							&=&-15+3 \\ 							&=&-12  					\end{eqnarray*}

    και

        \begin{eqnarray*} 						g(2)&=&-5\cdot2+3 \\ 							&=&-10+3 \\ 							&=&-7  					\end{eqnarray*}

    Άρα τα σημεία τομής των C_{f} και C_{g} είναι \Delta(3,-12) και E(2,-7).
    Παράδειγμα.2
    Έστω η συνάρτηση f(x)=x^2-10x+9.

    i) Πότε η C_f βρίσκεται πάνω από τον x'x;
    ii) Πότε η C_f βρίσκεται κάτω από τον x'x;
    iii) Πότε η C_ f βρίσκεται πάνω από την C_g με g(x)=-5x+3;
    Λύση
    i) Η C_{f} με y=f(x) είναι πάνω απο τον x'x όταν y>0\Leftrightarrow

        \begin{align*}                                         &f(x)>0\Leftrightarrow \\ 					&x^2-10x+9>0 \Leftrightarrow\\ 					&(x-9)(x-1)>0 				\end{align*}

        \begin{align*} 				\begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} 					\hline 					$ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}&  & $1$ & & $ 9$ & & {\tiny{$ +\infty$}}   				\\ \hline 					$  x-9$	& &$ -$ & $ 0$ & $ -$ &$ |$&$ +$&\\ \hline 					$ x-1 $	& &$ -$ & $ |$ & $ +$ &$ 0$&$ +$&\\ \hline 					$f(x)$  & &$ +$ & $ 0$ & $ -$ &$ 0$&$ +$&\\ \hline  				\end{tabular}\\ \end{align*}

    Τελικά η C_{f} είναι πάνω απο τον x'x όταν (x-9)(x-1)>0 δηλαδή για x\in(-\infty,1)\cup(9,+\infty).
    ii)Η C_{f} με y=f(x) είναι κάτω απο τον x'x όταν y<0\Leftrightarrow

        \begin{align*}                                          &f(x)<0\Leftrightarrow \\ 					&x^2-10x+9<0 \Leftrightarrow\\ 					&(x-9)(x-1)<0 				\end{align*}

    Τελικά η C_{f} είναι κάτω απο τον x'x όταν (x-9)(x-1)<0 δηλαδή για x\in(1,9).

    iii) Η C_{f} με y=f(x) είναι πάνω απο την C_{g} με y=g(x) όταν:

        \begin{align*}                                           &f(x)>g(x)\Leftrightarrow\\                                           &x^2-10x+9>-5x+3 \Leftrightarrow\\                                           &x^2-10x+9+5x-3>0 \Leftrightarrow\\ 					  &x^2-5x+6>0 \Leftrightarrow\\ 					  &(x-3)(x-2)>0 				  \end{align*}

        \begin{align*} 				  \begin{tabular}{|r| l c c c  c c r|} 				  \hline 				  $ x $&{\tiny{$ -\infty$}}& & $2$& &$ 3$& & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline 				  $x-2$&                   &$-$&$ 0$&$+$&$|$&$+$& \\ \hline 				  $x-3$& 					 &$ -$&$ |$ & $-$& $0$&$+$&	\\ \hline 				  $(x-2)(x-3)$&           &$+$&$0$&$-$&$0$&$+$&	\\ \hline  			          \end{tabular}\\                                \end{align*}

    Τελικά η C_{f} είναι πάνω απο την C_{g} όταν
    f(x)>g(x)  \Leftrightarrow f(x)-g(x)>0 \Leftrightarrow (x-3)(x-2)>0 άρα για x\in(-\infty,2)\cup(3, +\infty)

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *