ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται άρτια όταν:

  • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
  • Ισχύει f(-x)=f(x) για κάθε x \in A
  • Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y.

    Μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} λέγεται περιττή όταν:

  • Για κάθε x \in A είναι και -x \in A
  • Ισχύει f(-x)=-f(x) για κάθε x \in A
  • Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

    Παράδειγμα
    Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις
    i) f(x)=\dfrac{x^3-\eta\mu x}{x^2-4}.
    ii) f(x)=\dfrac{|x|+x^4}{\sqrt{16-x^2}}
    Λύση
    i)Πρέπει αρχικά να βρούμε το πεδίο ορισμού της

        \[f(x)=\frac{x^3-\eta\mu x}{x^2-4}\]

    Η f ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 				&x^2-4 \neq 0 \Leftrightarrow\\ 				&x^2 \neq 4 \Leftrightarrow\\ 				&x \neq \pm2 			\end{align*}

    Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο: A_{f}=\mathbb{R}-\{-2,2\}
    Παρατηρούμε ότι για κάθε x\in A_{f} είναι και -x\in A_{f}. Επίσης για κάθε x\in A_{f} ισχύει:

        \begin{eqnarray*} 				f(-x)	&=&\dfrac{(-x)^3-\eta\mu (-x)}{(-x)^2-4}\\\\ 						&=&\dfrac{-x^3+\eta\mu x}{x^2-4}\\\\ 						&=&-\frac{x^3+\eta\mu x}{x^2-4}\\\\ 						&=&-f(x) 			\end{eqnarray*}

    Δηλαδή για κάθε x\in A_{f} ισχύει f(-x)=-f(x), άρα η f είναι περιττή.
    ii) Πρέπει αρχικά να βρούμε το πεδίο ορισμού της

        \[f(x)=\frac{|x|+x^4}{\sqrt{16-x^2}}\]

    Η f ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 				    &16-x^2>0 \Leftrightarrow 				    x^2<4 \Leftrightarrow 				    -2<x<2 			    \end{align*}

    Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο:

        \[A_{f}=(-2,2)\]

    Παρατηρούμε ότι για κάθε x\in A_{f} είναι και -x\in A_{f}. Επίσης για κάθε x\in A_{f} ισχύει:

        \begin{eqnarray*} 				    f(-x)	&=&\dfrac{|-x|+(-x)^4}{\sqrt{16-(-x)^2}}\\\\ 						    &=&\dfrac{|x|+ x^4}{\sqrt{16-x^2}}\\\\ 						    &=&f(x) 			    \end{eqnarray*}

    Δηλαδή για κάθε x\in A_{f} ισχύει f(-x)=f(x), άρα η f είναι άρτια.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *