ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Μια συνάρτηση $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ λέγεται άρτια όταν:

Για κάθε $x \in A$ είναι και $-x \in A$

Ισχύει $f(-x)=f(x)$ για κάθε $x \in A$

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y.$

Μια συνάρτηση $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ λέγεται περιττή όταν:

Για κάθε $x \in A$ είναι και $-x \in A$

Ισχύει $f(-x)=-f(x)$ για κάθε $x \in A$

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Παράδειγμα
Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις
i) $f(x)=\dfrac{x^3-\eta\mu x}{x^2-4}.$
ii) $f(x)=\dfrac{|x|+x^4}{\sqrt{16-x^2}}$
Λύση
i)Πρέπει αρχικά να βρούμε το πεδίο ορισμού της

$f(x)=\frac{x^3-\eta\mu x}{x^2-4}$

Η $f$ ορίζεται όταν:

$\begin{align*} &x^2-4 \neq 0 \Leftrightarrow\\ &x^2 \neq 4 \Leftrightarrow\\ &x \neq \pm2 \end{align*}$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το σύνολο: $A_{f}=\mathbb{R}-\{-2,2\}$
Παρατηρούμε ότι για κάθε $x\in A_{f}$ είναι και $-x\in A_{f}$ . Επίσης για κάθε $x\in A_{f}$ ισχύει:

$\begin{eqnarray*} f(-x) &=&\dfrac{(-x)^3-\eta\mu (-x)}{(-x)^2-4}\\\\ &=&\dfrac{-x^3+\eta\mu x}{x^2-4}\\\\ &=&-\frac{x^3+\eta\mu x}{x^2-4}\\\\ &=&-f(x) \end{eqnarray*}$