ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1
Να βρείτε για ποιές τιμές του \lambda \in \mathbb{R} το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

    \[f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]\]

είναι το \mathbb{R}.

Λύση
Η συνάρτηση

    \[f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]\]

έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{R} όταν:

    \[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1>0\]

για κάθε x\in\mathbb{R}.
Για να ισχύει αυτό πρέπει ο συντελεστής του x^{2} να είναι θετικός
και η διακρίνουσα αρνητική δηλαδή, \lambda-2>0 και \Delta<0.
Άρα έχουμε:

    \begin{align*} 			&\lambda-2>0 \Leftrightarrow 			\lambda>2 \quad (1.) 		\end{align*}

και

    \begin{align*} 			&\Delta<0 \Leftrightarrow \Delta =\beta^{2}-4\alpha\cdot\gamma <0\Leftrightarrow\\\\ 			&(\lambda+1)^2 - 4(\lambda-2)(\lambda+1)<0 \Leftrightarrow\\\\ 			&\lambda^2+2\lambda+1-4(\lambda^2+\lambda-2\lambda-2)<0 \Leftrightarrow\\\\ 			&\lambda^2+2\lambda+1-4\lambda^2+4\lambda+8<0 \Leftrightarrow\\\\ 			&-3\lambda^2+6\lambda+9<0 \Leftrightarrow 3(-\lambda^2+2\lambda+3)<0 \Leftrightarrow\\\                          & -\lambda^2+2\lambda+3 <0 \end{align*}

Οπότε θα πρέπει να κάνουμε διερευνηση προσήμου για το τριώνυμο που προέκυψε

    \[\Delta'=2^2-4\cdot1\cdot3=4+12=16\]

    \[\lambda_{1,2}=\frac{-2\pm4}{-2}=\]

    \[\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 				$\lambda_{1}=-1$ \\ 				$\lambda_{2}=3$\\ 			\end{tabular} 			\right. \]

    \begin{align*} \begin{tabular}{c| c c c c c c c} 					      $ \lambda $ & $ -\infty $&	&     $-1$      &        &  $3$        &          & $+\infty $\\ 						    \hline 					    $ -\lambda^2+2\lambda+3 $   &  	         & -    & $ 0$          & +      & $ 0$        &    -     &	 	   \\ 						  \end{tabular} \end{align*}

Άρα

    \[-\lambda^2+2\lambda+3 <0\Leftrightarrow\lambda\in(-\infty, -1)\cup(3,+\infty) \quad(2.)\]

Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών (1.) και (2.) προκύπτει ότι \lambda\in(3,+\infty)

Παράδειγμα.2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x+\alpha} για την οποία ισχύει f(13)-f(-3)=4. Να βρείτε:

i) Τον αριθμό \alpha.

ii) Το πεδίο ορισμού της f.

iii) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)=\dfrac{\ln\Bigg(x+f\big(f(33)\big)\Bigg)}{x^2-f\big(f(-2)\big)|x|}
Λύση

i) Έχουμε:

    \[f(13)=\sqrt{13+\alpha} \quad \text{και} \quad f(-3)=\sqrt{-3+\alpha}\]

Άρα:

    \begin{align*} 			      &f(13)-f(-3)=4 \Leftrightarrow\\\\ 			      &\sqrt{13+\alpha}-\sqrt{-3+\alpha}=4 \Leftrightarrow\\\\ 			      &\sqrt{13+\alpha}=\sqrt{-3+\alpha}+4 \Leftrightarrow\\\\ 			      &(\sqrt{13+\alpha})^2=(\sqrt{-3+\alpha}+4)^2 \Leftrightarrow\\\\ 			      &13+\alpha=-3+\alpha+8\sqrt{-3+\alpha}+16 \Leftrightarrow\\\\ 			      & 8\sqrt{-3+\alpha}=0 \Leftrightarrow\\\\ 			      &-3+\alpha=0 \Leftrightarrow\\\\ 			      &\alpha=3 		      \end{align*}

ii) Για \alpha=3 ο τύπος της f γίνεται f(x)=\sqrt{x+3}. Η f ορίζεται όταν:

    \[x+3 \geq 0  \Leftrightarrow x \geq -3\]

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο: A_{f}=[-3,\infty)

iii) Έχουμε:

    \begin{align*} 				& f(33)=\sqrt{33+3}=\sqrt{36}=6 \Leftrightarrow\\\\ 				& f(f(33))=f(6)=\sqrt{6+3}=3 \Leftrightarrow\\\\ 				& f(-2)=\sqrt{-2+3}=1 \velos \Leftrightarrow\\\\ 				& f(f(-2))=f(1)=\sqrt{1+3}=2 			\end{align*}

Άρα η συνάρτηση g γράφεται:

    \[g(x)=\frac{ln(x+3)}{x^2-2|x|}\]

Για να ορίζεται η συνάρτηση g πρέπει ισχύον οι παρακάτω δύο συνθηκες:
α) x+3>0 \Leftrightarrow x>-3.
και β)

    \begin{align*} 				      &x^2-2|x| \neq 0 \Leftrightarrow |x|(|x|-2) \neq 0 \Leftrightarrow\\ 				      & |x| \neq 0 \quad \& \quad |x| \neq 2 \Leftrightarrow\\ 				      &x \neq 0 \quad \& \quad x \neq\pm 2 					  \end{align*}

Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το σύνολο:

    \[A_{g}=(-3,-2)\cup(-2,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\]

Παράδειγμα.3
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)= \left\{ 		      \begin{tabular}{ll} 			      $x^2-3, \quad -5\leq x \leq 1$ \\ 			      $4x-2, \quad 1<x<15$ \\ 		      \end{tabular} 		      \right. \]

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
ii) Να βρείτε τις τιμές f(-2), f(3), f(1).
iii) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=6.
Λύση
i) Η συνάρτηση f ορίζεται στα διαστήματα [-5,1] και (1,15).
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο A_{f}=x\in[-5,15)

ii) Έχουμε:

    \begin{align*} 						    & f(-2)=(-2)^2-3=4-3=1 \\ 						    & f(3)=4\cdot3-2=12-2=10 \\ 						    & f(1)=1^2-3=-2 					            \end{align*}

iii) Αν -5\leq x \leq 1, η εξίσωση γίνεται:

    \begin{align*} 						      & f(x)=6\Leftrightarrow x^2-3=6 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow 						      x\pm3 					      \end{align*}

Η λύση x=3 απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί τον περιορισμό -5\leq x\leq 1, ενώ η λύση x=-3 είναι δεκτή.
Αν 1<x<15, η εξίσωση γίνεται:
f(x)=6\Leftrightarrow 4x-2=6 \Leftrightarrow 4x=8\Leftrightarrow   x=2. η οποία είναι δεκτή

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *