ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Όταν γνωρίζουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο ορισμού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του \mathbb{R} στο οποίο ο τύπος της f(x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
Για τις ασκήσεις, γενικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης θεωρούμε όλο το \mathbb{R} εκτός απο τις παρακάτω περιπτώσεις που πρέπει να πάρουμε τους σχετικούς περιορισμούς.

  • f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} τότε θα πρέπει Q(x) \neq 0
  • f(x)=\sqrt[\nu]{P(x)}, \nu \in \mathbb{N}^*- \{1\} τότε θα πρέπει P(x) \geq 0
  • f(x)=ln(P(x)) τότε θα πρέπει P(x)>0
  • f(x)=\epsilon\phi(P(x)) τότε θα πρέπει P(x) \neq \kappa\pi+\dfrac{\pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z}
  • f(x)=\sigma\phi(P(x)) τότε θα πρέπει P(x) \neq \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z}
  • f(x)=(P(x))^{Q(x)} τότε θα πρέπει P(x)>0

  • Παράδειγμα. 1.
    Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων
    i) f(x)= \dfrac{x^{2}+6x +3}{x-3}.

    ii) f(x) = \sqrt{x-3}.

    iii) f(x) = \ln (x-3).

    Λύση
    i) f(x)= \dfrac{x^{2}+6x +3}{x-3}
    Θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός, δηλ.

        \[x-3\neq 0\Leftrightarrow x\neq 3.\]

    Άρα το πεδίο ορισμού A_f της συνάρτησης είναι A_f=\mathbb{R}-\{3\}.

    ii) f(x) = \sqrt{x-3}
    Θα πρέπει το υπόριζο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο απο το μηδέν, δηλ.

        \[x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3.\]

    Άρα το πεδίο ορισμού A_f της συνάρτησης είναι A_f=[3,+\infty).

    iii) f(x) = \ln (x-3)
    Θα πρέπει η συνάρτηση που ειναι «μεσα» στο λογάριθμο να είναι μεγαλύτερη απο το μηδέν, δηλ.

        \[x-3 > 0 \Leftrightarrow x > 3.\]

    Άρα το πεδίο ορισμού A_f της συνάρτησης είναι A_f=(3,+\infty).

    Παράδειγμα.2.
    Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

    i)f(x)=\dfrac{7-x}{|2x-1|-7}

    ii) f(x)=\dfrac{\ln\big((\frac{1}{3}\big)^x-\frac{1}{9})}{\sqrt{e^x-1}}

    iii)f(x)=(9-x^2)^{\sqrt{|x|-1}}

    Λύση

    i) Η συνάρτηση

        \[f(x)=\frac{7-x}{|2x-1|-7}\]

    ορίζεται όταν:

        \begin{align*} 					& |2x-1|-7 \neq 0 \Leftrightarrow |2x-1| \neq 7 \Leftrightarrow\\                                         &\left\{         	                         \begin{tabular}{ll} 				           $2x-1 \neq 7 \Leftrightarrow x \neq 4 $ και\\ 				           $2x-1 \neq -7 \Leftrightarrow x \neq -3$  			                 \end{tabular}                                           \right. 			\end{align*}

    Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A_{f}=\mathbb{R}-\{-3,4\}
    ii) Η συνάρτηση

        \[f(x)=\frac{\ln\big((\frac{1}{3})^x-\frac{1}{9}\big)}{\sqrt{e^x-1}}\]

    ορίζεται όταν ισχύουν οι παρακάτω
    τρεις περιορισμοί.

    α)

        \begin{align*} 					&\big(\frac{1}{3}\big)^x-\frac{1}{9}>0 \Leftrightarrow \big(\frac{1}{3}\big)^x>\frac{1}{9} \Leftrightarrow 					\big(\frac{1}{3}\big)^x>\big(\frac{1}{3}\big)^2 \stackrel{\downarrowtail}{\Leftrightarrow}  					x<2 					\end{align*}

    β)

        \begin{align*} 					&e^x-1 \geq 0 \Leftrightarrow e^x \geq 1 \Leftrightarrow 					e^x \geq e^0 \stackrel{\uparrowtail}{\Leftrightarrow} x \geq 0 					\end{align*}

    γ)

        \begin{align*} 					&\sqrt{e^x-1} \neq 0 \Leftrightarrow e^x-1 \neq 0  \Leftrightarrow\\ 					& e^x \neq 1 \Leftrightarrow e^x \neq e^0 \stackrel{\uparrowtail}{\Leftrightarrow}x \neq 0                                         \end{align*}

    Από την συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

        \[A_{f}=\{x \in (0,2) \} \]

    iii) Η συνάρτηση

        \[f(x)=(9-x^2)^{\sqrt{|x|-1}}\]

    ορίζεται όταν:
    α)

        \begin{align*} 					&9-x^2>0 \Leftrightarrow 9>x^2 \Leftrightarrow\\ 					&3>|x| \Leftrightarrow -3<x<3 				\end{align*}

    και β)
    |x|-1 \geq 0 \Leftrightarrow |x| \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 1 \quad ή x \leq -1
    Από τη συναλήθευση των προηγούμενων περιορισμών προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο

        \[A_{f}=(-3,-1]\cup [1,3)\]

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *