ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν f(x) \leq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό μέγιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[max f = f(x_{0})\]

  • Αν f(x) \geq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό ελάχιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[min f = f(x_{0})\]

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

    Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)\leq 0 ή f(x)\geq 0
  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα \rho της εξίσωσης f(x)=0, οπότε η ανίσωση γίνεται f(x)\leq f(\rho) ή f(x)\geq f(\rho)
  • Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της f.
  • π.χ. αν

    Rendered by QuickLaTeX.com

    ή

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

    ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

    Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η C_{f} τέμνει τον άξονα x'x το πολύ μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα.
    Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)=0
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.
  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση

        \[f(x)=0\]

    έχει το πολύ μία ρίζα. Έτσι η ρίζα που βρήκαμε προηγουμένως είναι μοναδική.

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

    ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    Παράδειγμα.1
    Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{     \begin{tabular}{ll} 		$\sqrt{x}-\dfrac{1}{x},  \quad  x > 0$ \\\\ 		$1-2x^3+e^{-x}, \quad x \leq 0$  	\end{tabular} 	\right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    Παράδειγμα.1
    Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:

        \[f(x)=5-\sqrt{6-2x}.\]

    Λύση
    Η συνάρτηση f(x)=5-\sqrt{6-2x} ορίζεται όταν:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Μια συνάρτηση f λέγεται:
    Γνησίως αύξουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε x_{1},x_{2}\in \Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

        \[f(x_{1})<f(x_{2}).\]

    Γνησίως φθίνουσα σ’ένα διάστημα \Delta \subseteq A_{f}, όταν για οποιαδήποτε
    x_{1},x_{2}\in\Delta με x_{1}< x_{2} ισχύει:

        \[f(x_{1})>f(x_{2}).\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Όταν γνωρίζουμε τις συναρτήσεις (f \circ g)(x) και g(x), τότε για να βρούμε τη συνάρτηση f(x) εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε όπου g(x)=u.
  • Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς x.
  • Αντικαθιστούμε το x που βρήκαμε στον τύπο f(g(x).)
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Παράδειγμα.2
    Δίνονται οι συναρτήσεις

        \[f(x)= 			      \left\{ 			      \begin{tabular}{ll} 				      $x-2,  \quad x \leq 0$ \\ 				      $x+2, \quad x>0$ \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \]

    και

        \[g(x)= 			      \left\{ 			  \begin{tabular}{ll} 				      $1-x,  \quad x<1$ \\ 				      $2-x, \quad x \geq 1$ \\ 			      \end{tabular} 			      \right. \]

    Να ορίσετε τη f \circ g.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Έστω f και g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Αν ισχύει f(A)\cap B \notin \emptyset, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολίζουμε με g \circ f τη συνάρτηση που έχει:

  • Πεδίο ορισμού το σύνολο A_{1}=\{x\in A \quad / \quad f(x) \in B\}
  • Και τύπο (g \circ f)(x)=g(f(x)).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Έστω δύο συναρτήσεις f,g με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Τότε οι πράξεις του αθροίσματος, διαφοράς, γινόμενου και πηλίκου ορίζονται ως εξής:

  • S(x)=f(x)+g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • D(x)=f(x)-g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • P(x)=f(x)\cdot g(x), για \quad x \in A\cap B(Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, για \{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\} (Δηλαδή το πηλίκο R έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B, τέτοια ώστε να μην μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το σύνολο \{x \in A\cap B \quad /  \quad g(x) \neq 0\}).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ