ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Print Friendly, PDF & Email

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν \xi_1, \xi_2,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta) για τα οποία ισχύει

    \[\kappa_1f'(\xi_1)+\kappa_2f'(\xi_2)+...+\kappa_{\nu}f'(\xi_{\nu})=\lambda\]

τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα [\alpha,\beta] σε \nu υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Ο χωρισμός θα πρέπει να γίνει ως εξής:
Έστω \delta=\beta-\alpha το πλάτος του διαστήματος [\alpha,\beta] και

    \[\kappa=\kappa_1+\kappa_2+...+\kappa_\nu\]

Θεωρούμε τα υποδιαστήματα [\alpha,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{\nu-1},\beta] με αντίστοιχα πλάτη

    \[\delta_1=\frac{\kappa_1}{\kappa}\cdot\delta, \delta_2=\frac{\kappa_2}{\kappa}\cdot\delta,...,\delta_{\nu}=\frac{\kappa_\nu}{\kappa}\cdot\delta\]


Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[f(10)=9+f(1)\]

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \xi_1,\xi_2\in(1,10) ώστε

    \[f'(\xi_1)+2f'(\xi_2)=3\]

Λύση
Το πλάτος του διαστήματος (1,10) είναι ίσο με \delta=10-1\Leftrightarrow\delta=9.
Επίσης είναι:

    \[\kappa = \kappa_{1}+\kappa_{2}\Leftrightarrow 								\kappa 								=1+2 								=3\]

Θα χωρίσουμε το διάστημα [1,10] σε δύο υποδιαστήματα με πλάτη:

    \[\delta_{1} =\dfrac{\kappa_{1}}{\kappa}\cdot \delta\Leftrightarrow 								\delta_1= 								\frac{1}{3}\cdot 9 								=3\]

και

    \[\delta_{2} =\dfrac{\kappa_{2}}{\kappa}\cdot \delta\Leftrightarrow 								\delta_2 								=\frac{2}{3}\cdot 9 								=6\]

Συνεπως, το διάστημα [1,10] θα το χωρίσουμε σε δύο υποδιαστηματα που το πρώτο θα έχει πλάτος 3 και το δεύτερο πλάτος 6 δηλαδη θεωρούμε τα διαστήματα:

    \[[1,4] \quad \text{και} \quad [4,10]\]

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα [1,4] και [4,10] και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα (1,4) και (4,10), αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}. Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο:
υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_1\in(1,4) τέτοιο ώστε:

    \[f'(\xi_1)= 								\frac{f(4)-f(1)}{4-1} 								=\frac{f(4)-f(1)}{3}\]

Και υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_2\in(4,10) τέτοιο ώστε:

    \[f'(\xi_2) 								=\frac{f(10)-f(4)}{10-4} 								=\frac{f(10)-f(4)}{6}\]

Για τα παραπάνω \xi_1,\xi_2\in(1,10) ισχύει ότι:

    \begin{align*} 								&f'(\xi_1)+2\cdot f'(\xi_2)=\\\\ 								&=\frac{f(4)-f(1)}{3}+2\cdot\frac{f(10)-f(4)}{6}\\\\ 								&=\frac{f(4)-f(1)}{3}+\frac{f(10)-f(4)}{3}\\\\ &=\frac{f(4)-f(1)+f(10)-f(4)}{3}\\\\ 								&=\frac{f(10)-f(1)}{3} \end{align*}

Απο υπόθεση έχουμε ότι f(10)=9+f(1) οπότε

    \[\frac{9+f(1)-f(1)}{3}=\dfrac{9}{3}=3.\]

Τελικά f'(\xi_1)+2f'(\xi_2)=3.

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *