ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Print Friendly, PDF & Email

Περίπτωση 1
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν \xi_1,\xi_2,\xi_3,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta) για τα οποία ισχύει
f'(\xi_1)+f'(\xi_2)+...+f'(\xi_{\nu})=\lambda τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα [\alpha,\beta] σε \nu υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα πο αυτά.

  • Αν έχουμε δεδομένα για τιμές της f στο [\alpha,\beta], τότε αυτές μας δείχνουν με ποιον τρόπο θα χωρίσουμε το [\alpha,\beta] σε υποδιαστήματα.
  • Παράδειγμα.1.
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr για την οποία ισχύουν

        \[f(1)=2,  \quad f(2)=4 \quad \text{και} \quad f(4)=3\]

    να αποδείξετε ότι υπάρχουν \xi_1,\xi_2\in(1,4), διαφορετικά μεταξύ μεταξύ τους ώστε οι εφαπτομένες της C_f
    στα σημεία της A(\xi_1, f(\xi_1)) και B(\xi_2, f(\xi_2)) να είναι κάθετες μεταξύ τους.

    Λύση
    Έστω

        \[(\epsilon_{1}): y - f(\xi_{1}) = f'(\xi_{1})\cdot ( x -\xi_{1}),\]

    Η εφαπτομένη της C_{f}, στο σημείο A(\xi_1, f(\xi_1)).

    Θεωρούμε επίσης

        \[(\epsilon_{2}): y - f(\xi_{2}) = f'(\xi_{2})\cdot ( x -\xi_{2}),\]

    Η εφαπτομένη της C_{f}, στο σημείο B(\xi_2, f(\xi_2)).

    Για να είναι (\epsilon_{1})\perp  (\epsilon_{2}) στα σημεία A(\xi_1, f(\xi_1)) και B(\xi_2, f(\xi_2)) με \xi_1,\xi_2\in(1,4), διαφορετικά μεταξύ μεταξύ τους, θα πρέπει να δείξουμε ότι

        \[f(\xi_{1})\cdot f(\xi_{2}) =-1.\]

    Οπότε, πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα [1,4] σε 2 υποδιαστήματα και να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα απο αυτά.
    Αφού γνωρίζουμε ότι

        \[f(1)=2,\quad f(2)=4 \quad \text{και} \quad f(4)=3\]

    θα χωρίζουμε το διάστημα [1,4] στα εξής υποδιαστήματα:

        \[[1,2] \quad \text{και} \quad [2,4]\]

    Η f είναι συνεχής σε καθένα απο τα [1,2] και [2,4] και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα (1,2) και (2,4), αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο \rr. Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο:
    υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_1\in(1,2) τέτοιο ώστε:

        \[f'(\xi_1)=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1} 				=\dfrac{4-2}{1} 				=2\]

    και υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_2\in(2,4) τέτοιο ώστε:

        \[f'(\xi_2)=\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2} 				=\dfrac{3-4}{2} 				=-\dfrac{1}{2}\]

    Επομένως έχουμε ότι ισχύει:

        \[f'(\xi_1)f'(\xi_2)=2(-\dfrac{1}{2}) 						=-1\]

    Άρα οι εφαπτομένες της C_f στα σημεία της A(\xi_1, f(\xi_1)) και B(\xi_2, f(\xi_2)) είναι κάθετες μεταξύ τους.

    Περίπτωση 2
    Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν \xi_1,\xi_2,\xi_3,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta) γαι τα οποία ισχύει
    f'(\xi_1)+f'(\xi_2)+...+f'(\xi_{\nu})=\lambda τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα [\alpha,\beta] σε \nu υποδιαστήματα και
    εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα πο αυτά.

  • Όταν δεν έχουμε πληροφορίες για τιμές της f στο [\alpha,\beta], τότε το χωρίζουμε σε \nu ίσου πλάτους υποδιαστήματα. Καθένα από αυτά έχει πλάτος

        \[\frac{\beta-\alpha}{\nu}\]

  • Παράδειγμα.2.
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1,1) και B(5,9).
    Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \xi_1,\xi_2\in(1,5), διαφορετικά μεταξύ τους ώστε

        \[f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=4\]

    Λύση
    Αφού γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1,1) και B(5,9), δηλαδή

        \[f(1)=1 \quad \text{και} \quad f(5)=9\]

    Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα [1,5] σε 2 υποδιαστήματα ίσου πλάτους τα οποία είναι τα [1,3] και [3,5] και να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά.
    Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα [1,3] και [3,5] και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα (1,3) και (3,5), αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}.
    Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο, υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_1\in(1,3) τέτοιο ώστε:

        \[f'(\xi_1)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{f(3)-1}{2}\]

    και υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi_2\in(1,3) τέτοιο ώστε:

        \[f'(\xi_2)=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=\frac{9-f(3)}{2}\]

    Για τα παραπάνω \xi_1,\xi_2\in(1,5) ισχύει ότι:

        \begin{align*} &f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\frac{f(3)-1}{2}+\frac{9-f(3)}{2}=\\\\ &\frac{f(3)-1+9-f(3)}{2}=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\ \end{align*}

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββαλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *