ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Αν μια συνάρτηση f είναι:

  • Συνεχής στο κλειστό διάστημα [\alpha,\beta]
  • Παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (\alpha,\beta)
  • Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(\alpha,\beta) τέτοιο ώστε:

        \[f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\]

    Παράδειγμα
    Δίνεται η συνάρτηση

        \[f(x)= \left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$x^2+\alpha x+\beta, \quad x\leq1$ \\ 			$2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1, \quad x>1$  		\end{tabular} 	\right. \]

    με \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
    Αν για την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ στο [-1,3].
    i) Να βρείτε τις τιμές των \alpha και \beta
    ii) Να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ για την f στο [-1,3].
    Λύση
    Εφόσον για την f ισχύει το Θ.Μ.Τ στο [-1,3] πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-1,3].
    Άρα και στο x_{0}=1 όπου αλλάζει τύπο η συνάρτηση οπότε θα ισχύει:

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-}(x^2+\alpha x+\beta) 										    =\alpha+\beta+1\]

    Επίσης

        \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^-}(2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1) 										    =\beta\]

        \[f(1)=\alpha+\beta+1\]

    Επομένως για να είναι \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=f(1), έχουμε:
    \alpha+\beta+1=\beta \Leftrightarrow 					    \alpha=-1
    Συνεπώς η συνάρτηση f για \alpha=-1 γίνεται:

        \[f(x)= \left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$x^2 -x+\beta, \quad x\leq1$ \\ 			$2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1, \quad x>1$  		\end{tabular} 	\right. \]

    Επίσης η f πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο [-1,3].
    Η f είναι παραγωγίσιμη για x<1 και x>1 ως πολυωνυμική.
    Για να είναι παραγωγίσιμη στο 1 πρέπει:

        \[\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\]

    Έχουμε:

        \begin{eqnarray*} 					    \lim_{x \to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim_{x \to 1^-}\dfrac{x^2-x+\beta-\beta}{x-1}\\\\ 											    &=&\lim_{x \to 1^-}\dfrac{x(x-1)}{x-1}\\\\ 											    &=&1 				    \end{eqnarray*}

    Επίσης

        \begin{eqnarray*} 			 &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1-\beta}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2x^2-\beta x-x+\beta-1}{x-1}=\\\\\  &\displaystyle\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2x^2-x-1-\beta(x-1)}{x-1}=\\\\  &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2(x-1)(x+\dfrac{1}{2})-\beta(x-1)}{x-1}=\\\\  &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{(x-1)(2x+1)-\beta}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{(x-1)\cdot \Big[(2x+1)-\beta\Big]}{x-1}=\\\\  &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\Big[(2x+1)-\beta\Big]=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}(2x+1-\beta)= 3-\beta 				    \end{eqnarray*}

    Επομένως έχουμε:

        \begin{align*} 					    &3-\beta=1 \Leftrightarrow\\ 					    &\beta=2 				    \end{align*}

    Επειδή για την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(-1,3) τέτοιο ώστε:

        \[f'(\xi)= \dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} 									=\dfrac{12-4}{4} 									=2\]

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββαλα
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *