ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Στην προσπάθεια να βρούμε την αρχική μιας συνάρτησης πρέπει να ελέγχουμε αν εμφανίζεται παράγωγος γινομένου ή πηλίκου ή παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.

*f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\Big(f(x)g(x)\Big)'

*f(x)+xf'(x)=(xf(x))'

*\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}=\Big(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Big)' g(x)\neq 0

*\dfrac{f'(x)+xf'(x)}{x^2}=\Big(\dfrac{f(x)}{x}\Big)' x\neq 0

*f^{\nu}(x)f'(x)=\Big(\dfrac{f^{\nu+1}(x)}{\nu+1}\Big)'

*x^{\nu}=\Big(\frac{x^{\nu+1}}{\nu+1}\Big)'

*e^{f(x)}f'(x)=\Big(e^{f(x)}\Big)'

*\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\Big(ln|f(x)|\Big)' f(x)\neq 0

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} με f(2)=0.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει \xi\in (0,2)
τέτοιο ώστε f(\xi)+\xi f'(\xi)=0
Λύση
Θέτουμε όπου \xi το x. Η εξίσωση γίνεται:
f(x)+x f'(x)=0\Leftrightarrow

1\cdot f(x)+x f'(x)=0\Leftrightarrow

(x)'f(x)+xf'(x)=0 \Leftrightarrow (xf(x))'=0

Θέτουμε: g(x)=xf(x)
Ισχύουν τα εξής:

Η g είναι συνεχής στο διάστημα [0,2], ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων, αφού απο υπόθεση η f
παραγωγίσιμη στο [0,2].
Η g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0,2) ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: g'(x)=f(x)+xf'(x).
Είναι: g(0)=0
και
g(2)=2f(2)=0
Άρα ισχύει ότι: g(0)=g(2)
Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(0,2) τέτοιο ώστε:
g'(\xi)=0 \Leftrightarrow 				f(\xi)+\xi f'(\xi)=0

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββαλα
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Ένα σχόλιο στο ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *