ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει \xi\in(\alpha,\beta), ώστε να ισχύει μια σχέση, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε στη θέση του \xi το x και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, ώστε να έχουμε μια εξίσωση της μορφής

        \[g(x)=0\]

  • Αν δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano για τη g στο [\alpha,\beta], τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της g, για την οποία ισχύει

        \[G'(x)=g(x)\]

  • Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για τη G στο [\alpha,\beta] αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.
  • Παράδειγμα
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει f(1)=3 \quad και \quad f(2)=6
    Να αποδείξετε ότι υπάρχει \xi\in(1,2) τέτοιο ώστε f'(\xi)=2\xi.
    Λύση
    Θέτουμε όπου \xiτο x ώστε να σχηματίσουμε μια εξίσωση:

        \begin{align*} 		&f'(x)=2x \Leftrightarrow\\ 		&f'(x)-2x=0 \quad (1) 	\end{align*}

    Η συνάρτηση

        \[h(x)=f'(x)-2x\]

    δεν γνωρίζουμε αν είναι συνεχής αφού δεν έχουμε ως δεδομένο ότι η f' είναι συνεχής. Άρα δεν εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano για την h.
    Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (1) γίνεται:

        \begin{align*} 		&f'(x)-2x=0 \Leftrightarrow\\ 		&(f(x))'-(x^2)'=0 \Leftrightarrow\\ 		&(f(x)-x^2)'=0 	\end{align*}

    Θέτουμε

        \[g(x)=f(x)-x^2\]

    Έχουμε:

  • Η g είναι συνεχής στο διάστημα [1,2], ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.(Αφου η f συνεχής ως παραγωγίσιμη συνάρτηση απο υπόθεση.)
  • Η g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (1,2) ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: g'(x)=f'(x)-2x.
  • Επίσης είναι:

    g(1)=f(1)-1^2 			=3-1 			=2
    και
    g(2)=f(2)-2^2 			=6-4 			=2
    Άρα ισχύει: g(1)=g(2)
    Επομένως η g ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [1,2]. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(1,2) τέτοιο ώστε:

        \begin{align*} 		&g'(\xi)=0 \Leftrightarrow\\ 		&f'(\xi)-2\xi=0 \Leftrightarrow\\ 		&f'(\xi)=2\xi 	\end{align*}

    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *