ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

Print Friendly, PDF & Email

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν:

  • Συνεχής στο κλειστό διάστημα [\alpha,\beta]
  • Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (\alpha,\beta) και
  • f(\alpha)=f(\beta).
    Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(\alpha,\beta) τέτοιο ώστε f'(\xi)=0

    Παράδειγμα.1.
    Δίνεται η συνάρτηση

        \[f(x)=x^5-4x^3+(\lambda-1)x^2-3\lambda x+2(\lambda+3), \quad \lambda\in\mathbb{R}.\]

    Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(1,2) τέτοιο ώστε f'(\xi)=0.
    Λύση
    Η συνάρτηση

        \[f(x)=x^5-4x^3+(\lambda-1)x^2-3\lambda x+2(\lambda+3)\]

    έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.
    Παρατηρούμε τα εξής:

  • Η f είναι συνεχής στο διάστημα [1,2], ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
  • Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (1,2), ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
    f'(x)=\big(x^5-4x^3+(\lambda-1)x^2-3\lambda x+2(\lambda+3)\big)'\Leftrightarrow
    f'(x) =5x^{4}+2\cdot (\lambda-1)x -3\lambda.

    Έχουμε:
    f(1)=1-4+\lambda-1-3\lambda+2\lambda+6 			=2
    f(2)=32-32+4\lambda-4-6\lambda+2\lambda+6 			=2
    Έχουμε δηλαδή:
    f(1)=f(2)
    Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(1,2) τέτοιο ώστε f'(\xi)=0.

    Παράδειγμα.2.
    Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x^{3} +\alpha x -3 \alpha x - 8, \quad \alpha \in \rr, η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [-3,3]. Να βρείτε τον αριθμό \alpha και στην συνέχεια να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης f'(x)=0 που ανήκουν στο διάστημα (-3,3)
    Λύση
    Από υπόθεση για την συνάρτηση f, ισχύει το θεώρημα Rolle στο [-3,3]
    δηλαδή ισχύει ότι
    Η f είναι συνεχής στο [-3,3] ως πολυωνυμική.
    Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-3,3) ως πολυωνυμική.
    Και ισχύει

        \[f(-3) = f(3).\]

    Έχουμε

        \[f(-3)= -27 + 9\cdot \alpha + 9 \cdot \alpha -8 \Leftrightarrow f(-3) = 18\cdot \alpha -35.\]

    Επίσης

        \[f(3) = 27 + 9 \cdot \alpha - 9 \cdot \alpha -8 \Leftrightarrow f(3) = 19.\]

    Αφού πρέπει να ισχύει f(-3) = f(3) τότε έχουμε

        \[18\cdot \alpha -35=19 \Leftrightarrow \alpha  =3.\]

    Άρα έχουμε:

        \[f(x)=x^3+3x^2-9x-8\]

        \[f'(x)=3x^2+6x-9\]

        \begin{align*} 		&f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ 		&3x^2+6x-9=0 \Leftrightarrow\\ 		&x^2+2x-3=0 \Leftrightarrow\\ 		&(x+3)(x-1)=0 \Leftrightarrow\\ 		&x=-3 \quad  {\text{ή}} \quad x=1 	\end{align*}

    Επειδή οι ρίζες της f'(x)=0 θέλουμε να ανήκουν στο (-3,3), άρα έχουμε:

        \[x=1\]

    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

  • Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *