ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^2-5x+4 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f, η οποία:
i) Έχει συντελεστή διεύθυνσης 3.
ii) Είναι παράλληλη στην ευθεία (\zeta): y=5x-7.
iii) Είναι κάθετη στην ευθεία (\eta):y=\frac{1}{7}x+\frac{13}{7}
iv) Να είναι παράλληλη στο άξονα x'x.
v) Να σχηματίζει γωνία 45^{\circ} με τον άξονα x'x.

Λύση
i) Έστω (\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα x_{0},  f(x_{0}) και f'(x_{0}).

Από υπόθεση η ζητούμενη εφαπτομένη (\epsilon) έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{\epsilon}=3
άρα f'(x_0)=3.
Ισχύει ότι: f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5.
Συνεπώς

    \begin{align*} 				&f'(x_0)=3 \Leftrightarrow\\ 				&2x_0-5=3 \Leftrightarrow\\ 				&x_0=4 			\end{align*}

Άρα το σημείο επαφής είναι το M(4,f(4)). Είναι:

    \begin{eqnarray*} 				f(4)&=& 4^2-5\cdot4+4\\ 				&=&0 			\end{eqnarray*}

Επομένως η εφαπτομένη (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \begin{align*} 				&y-f(4)=f'(4)(x-4) \Leftrightarrow\\ 				&y-0=3(x-4) \Leftrightarrow\\ 				&y=3x-12 			\end{align*}

ii) Έστω (\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα x_{0},  f(x_{0}) και f'(x_{0}).

Από υπόθεση η ευθεία

    \[$(\zeta): y=5x-7.$\]

έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{\zeta} = 5. Έχουμε:

    \begin{align*} 				    &\epsilon\parallel \zeta \Leftrightarrow\\ 				    &\lambda_{\epsilon}=\lambda_{\zeta} \Leftrightarrow\\ 				    &f'(x_0)=5.                               \end{align*}

Επειδή f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,
έχουμε ότι:

    \begin{align*}    				    &2x_0-5=5 \Leftrightarrow\\ 				    &x_0=5 			    \end{align*}

Άρα το σημείο επαφής είναι το M(5,f(5)). Είναι:

    \begin{eqnarray*} 				    f(5)&=&5^2-5\cdot5+4\\ 					    &=&4 			    \end{eqnarray*}

Επομένως η εφατομένη (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \begin{align*} 				    &y-f(5)=f'(5)(x-5) \Leftrightarrow\\ 				    &y-4=5(x-5) \Leftrightarrow\\ 				    &y=5x-21 			    \end{align*}

iii) Έστω (\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα x_{0},  f(x_{0}) και f'(x_{0}).

Από υπόθεση η ευθεία

    \[(\eta):y=\frac{1}{7}x+\frac{13}{7}\]

έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{\eta} = \dfrac{1}{7}. Έχουμε:

    \begin{align*} 					  &\epsilon \bot\eta \Leftrightarrow\\ 					  &\lambda_{\epsilon}\lambda_{\eta}=-1 \Leftrightarrow\\ 					  &f'(x_0)\cdot\frac{1}{7}=-1 \Leftrightarrow\\ 					  &f'(x_0)=-7  \end{align*}

Επειδή f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,
έχουμε ότι:

    \begin{align*}    					  &2x_0-5=-7 \Leftrightarrow\\ 					  &x_0=-1 				  \end{align*}

Άρα το σημείο επαφής είναι το M(-1,f(-1)). Είναι:

    \begin{eqnarray*} 					  f(-1)&=&(-1)^2-5\cdot(-1)+4\\ 						  &=&10 				  \end{eqnarray*}

Επομένως η εφατομένη (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \begin{align*} 					  &y-f(-1)=f'(-1)(x+1) \Leftrightarrow\\ 					  &y-10=-7(x+1) \Leftrightarrow\\ 					  &y=-7x+3 				  \end{align*}

iv) Έστω (\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα x_{0},  f(x_{0}) και f'(x_{0}).
Η ζητούμενη εφαπτομένη (\epsilon) έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό f'(x_0). Έχουμε:

    \begin{align*} 				      &\epsilon \parallel x'x \Leftrightarrow\\ 				      &\lambda_{\epsilon}=0 \Leftrightarrow\\ 				      &f'(x_0)=0 .                                   \end{align*}

Επειδή f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,
έχουμε ότι:

    \begin{align*}    				      &2x_0-5=0 \Leftrightarrow\\ 				      &x_0=\frac{5}{2} 			      \end{align*}

Άρα το σημείο επαφής είναι το M(\frac{5}{2},f(\frac{5}{2})). Είναι:

    \begin{eqnarray*} 				      f(\dfrac{5}{2})&=&(\dfrac{5}{2})^2-5\cdot\dfrac{5}{2}+4\\ 								      &=&-\dfrac{9}{4} 			      \end{eqnarray*}

Επομένως η εφαπτομένη (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \begin{align*} 				      &y-f(\dfrac{5}{2})=f'(\dfrac{5}{2})(x-\dfrac{5}{2}) \Leftrightarrow\\ 				      &y+\dfrac{9}{4}=0(x-5) \Leftrightarrow\\ 				      &y=-\dfrac{9}{4} 			      \end{align*}

v) Έστω (\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο M\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)

Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα x_{0},  f(x_{0}) και f'(x_{0}).
Η ζητούμενη εφαπτομένη (\epsilon) έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό f'(x_0).
Έχουμε:

    \begin{align*} 				  &\lambda_{\epsilon}=\epsilon\phi\omega \Leftrightarrow\\ 				  &f'(x_0)=\epsilon\phi45^{\circ} \Leftrightarrow\\                                   &f'(x_0)=1.                            \end{align*}

Επειδή f'(x)=(x^2-5x+4)'\Leftrightarrow f'(x)=2x-5\Leftrightarrow f'(x_{0})=2x_{0}-5.\,
έχουμε ότι:

    \begin{align*}   				  &2x_0-5=1 \Leftrightarrow\\ 				  &x_0=3 			  \end{align*}

Άρα το σημείο επαφής είναι το M(3,f(3)). Είναι:

    \begin{eqnarray*} 				  f(3)&=& 3^2-5\cdot3+4\\ 					  &=&-2 			  \end{eqnarray*}

Επομένως η εφαπτομένη (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \begin{align*} 				  &y-f(3)=f'(3)(x-3) \Leftrightarrow\\ 				  &y+2=1(x-3) \Leftrightarrow\\ 				  &y=x-5 			  \end{align*}

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *