ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.1
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^2-5x+9 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f στο σημείο της A(2,f(2)).

Λύση
Έστω (\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο A\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)\in C_{f}
Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα x_{0}, f(x_{0}) και f'(x_{0})
Απο υπόθεση x_{0}=2 οπότε

    \[f(2)= 2^2-5\cdot2+9\Leftrightarrow f(2)=3\]

Επίσης για κάθε x\in\mathbb{R} είναι: f'(x)=2x-5
Άρα είναι: f'(2)-2\cdot2-5=-1
Επομένως η εφαπτόμενη της C_f στο σημείο της A(2,f(2)) έχει εξίσωση:

    \begin{align*} &y-f(2)=f'(2)(x-2) \Leftrightarrow\\ &y-3=-1(x-2) \Leftrightarrow y=-x+5 \end{align*}

Παράδειγμα.2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= -x^{2}+2x. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης C_{f}, που διέρχονται απο το σημείο M(1,2).

Λύση

Έστω (\epsilon): y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) η εξίσωση της εφαπτομένης της C_{f} στο σημείο A\Big(x_{0},f(x_{0})\Big)\in C_{f}
Συνεπώς για να βρούμε την εφαπτομένη αρκεί να υπολογίσουμε τα x_{0}, f(x_{0}) και f'(x_{0})

Απο την εκφώνηση, έχουμε ότι το σημειο M(1,2)\nin C_{f}, αφού για x=1, το f(1)=-1^{2}+2\cdot 1=1\neq 2.

Οπότε το σημείο M(1,2) ανήκει μόνο στην εφαπτομένη (\epsilon).

Συνεπώς με f(x_{0})=-x_{0}^{2}+2x_{0}\,\, (1) και f'(x_{0})=-2x_{0}+2\,\, (2) έχουμε:

    \begin{align*}  M(1,2)\in (\epsilon): & y-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) \xRightarrow[y=2]{x=1}  \\\\                        & 2-f(x_{0})= f'(x_{0})\cdot(1-x_{0})  \xRightarrow[(2)]{(1)}  \\\\                        & 2+x_{0}^{2}-2x_{0}= (-2x_{0}+2)\cdot(1-x_{0}) \Rightarrow \\\\                        & 2+x_{0}^{2}-2x_{0}= -2x_{0}+2x_{0}^{2}+2-2x_{0} \Rightarrow \\\\                        & 2+x_{0}^{2}-2x_{0}+2x_{0}-2x_{0}^{2}-2+2x_{0}=0 \Rightarrow \\\\                        & -x_{0}^{2}+2x_{0}=0 \Rightarrow \\\\                        & x_{0}^{2}-2x_{0}=0 \Rightarrow\\\\                        &x_{0}\cdot(x_{0}-2)=0 \Rightarrow\begin{cases}                                                  x_{0}=0,\\                                                   x_{0}=2\\                                                \end{cases} \end{align*}

Οπότε για

    \[x_{0}=0  \,\, \text{έχουμε} \begin{cases}                                                 (1)\Rightarrow f(0)=0\\                                                 (2)\Rightarrow f'(0)=2\\                                                  \end{cases}\]

και εξίσωση εφαπτομένης (\epsilon_{1}): y=2x
και για

    \[x_{0}=2 \,\,\text{έχουμε} \begin{cases}                                                 (1)\Rightarrow f(2)=0\\                                                 (2)\Rightarrow f'(2)=-2\\                                                  \end{cases}\]

και εξίσωση εφαπτομένης (\epsilon_{1}): y=-2x+4.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *