ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μια συνάρτηση 1-1 και παραγωγίσιμη. Τότε και η αντίστροφή της f^{-1} είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in f(A) με την προυπόθεση ότι f'(f^{-1}(x_0))\neq0.
Συνεπώς για κάθε x\in A ισχύει ότι:

    \[f^{-1}(f(x))=x\]

Παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει ότι:

    \begin{align*} 	&\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ 	&\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}


Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^x+x
i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
ii) Να βρείτε την (f^{-1})'(1).
Λύση
i) Η συνάρτηση

    \[f(x)=e^x+x\]

έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.
Για κάθε x_1,x_2\in\mathbb{R} με x_1<x_2 ισχύει ότι:

    \begin{align*} 					      &x_1<x_2 \Leftrightarrow\\ 					      &e^{x_1}<e^{x_2} 				      \end{align*}

Άρα έχουμε:

    \begin{align*} 					      &e^{x_1}+x_1<e^{x_2}+x_2 \Leftrightarrow\\ 					      &f(x_1)<f(x_2) 				      \end{align*}

Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 συνεπώς αντιστρέφεται.
ii) Αφου f(x)= e^{x}+x
για x=0, έχουμε ότι f(0) = e^{0} +0\Leftrightarrow f(0)= 1\Leftrightarrow 0 =f^{-1}(1).
Επιπλέον για κάθε x\in\mathbb{R} ισχύει ότι f^{-1}(f(x))=x, οπότε:

    \begin{align*} 					      &\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ 					      &\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 				      \end{align*}

Από την παραπάνω σχέση για x=0 έχουμε:

    \[\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(0)\big)f'(0)=1\]

Όμως είναι:

    \[f'(x)=e^x+1\]

Άρα

    \[f'(0)=1+1=2.\]

Επομένως έχουμε:

    \begin{align*} 					      &\Big(f^{-1}\Big)'(1)\cdot(2)=1 \Leftrightarrow\\ 					      &\Big(f^{-1}\Big)'(1)=\frac{1}{2} 				      \end{align*}

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *