ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει

    \[f^3(x)+3xf(x)=x^3-1, \quad x\in\mathbb{R}\]

Να βρείτε τις τιμές f(0) και f'(0)

Λύση
Αφού για κάθε x\in\mathbb{R} ισχύει ότι f^3(x)+3xf(x)=x^3-1
άρα θα ισχύει και για x=0

    \begin{align*} 		&f^3(0)+3\cdot 0\cdot f(0)=0^3-1 \Leftrightarrow\\ 		&f^3(0)=-1 \Leftrightarrow\\ 		&f(0)=-1  	\end{align*}

Η συνάρτηση

    \[g(x)=f^3(x)+3xf(x)\]

είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων, αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη από εκφώνηση, και η συνάρτηση

    \[h(x)=x^3-1\]

είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική. Επομένως μπορούμε να παραγωγίσουμε την αρχική σχέση.
(Αν δεν μας έδινε η εκφώνηση ότι η f είναι παραγωγίσιμη τότε θα έπρεπε να υπολογίσω τη παράγωγο με τον ορισμό)

    \begin{align*} 		&(f^3(x)+3xf(x))'=(x^3-1)' \Leftrightarrow\\\\ &\big(f^3(x)\big)'+\big(3xf(x))'=(x^3)'-(1)'\Leftrightarrow\\\\ 		&3f^2(x)f'(x)+3f(x)+3xf'(x)=3x^2 \quad (1) 	\end{align*}

Θέτουμε x=0 στη σχέση (1) και προκύπτει:

    \begin{align*} 		&3f^2(0)f'(0)+3f(0)+3 \cdot 0f'(0)=3\cdot 0^2 \Leftrightarrow\\ 		&3(-1)^2f'(0)+3(-1)=0 \Leftrightarrow\\ 		&3f'(0)=3 \Leftrightarrow\\ 		&f'(0)=1 	\end{align*}

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *