ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

Έστω ότι έχουμε μια σχέση δύο μεταβλητών x,y\in\mathbb{R} στην οποία τα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Τότε μπορούμε:

  • Να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη ως προς x, θεωρώντας το x μεταβλητή και το y αριθμητική σταθερά.
  • Να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη ως προς y, θεωρώντας το y μεταβλητή και το x αριθμητική σταθερά.
    Παράδειγμα
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty)\rightarrow(0,+\infty) για την οποία ισχύει
    f(x+y)=f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)} \quad \text{για κάθε} \quad x,y\in(0,+\infty)
    Να αποδείξετε ότι

        \[f'(x)-f'(y)=-\frac{y-x}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\]


    Λύση
    Παραγωγίζουμε τη σχέση

        \[f(x+y)=f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)}\]

    ως πρός x θεωρώντας το y αριθμητική σταθερά.

        \begin{align*} &\Big(f(x+y)\Big)'=\Big(f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)}\Big)' \Leftrightarrow\\\\ &\Big(f(x+y)\Big)'=\big(f(x)\big)'+\big(f(y)\big)'+\big(2\sqrt{f(xy)}\big)' \Leftrightarrow \end{align*}

    f'(x+y)\cdot (x+y)'=f'(x)+f'(y)\cdot (y)'+2\dfrac{1}{2\sqrt{f(xy)}}\cdot \Big(f(xy)\Big)' \Leftrightarrow

    f'(x+y)\cdot (x+y)'=f'(x)+f'(y)\cdot (y)'+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot (xy)' \Leftrightarrow

    f'(x+y)\cdot [(x)'+(y)']=f'(x)+f'(y)\cdot 0+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot y\cdot (x)' \Leftrightarrow

    f'(x+y)\cdot (1+0)=f'(x)+0+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)y\cdot 1 \Leftrightarrow

        \begin{align*} &f'(x+y)\cdot 1=f'(x)+\frac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot y \Leftrightarrow\\\\ &f'(x+y)=f'(x)+\frac{y\cdot f'(xy)}{\sqrt{f(xy)}} \quad (1) \end{align*}

    Παραγωγίζουμε τη σχέση

        \[f(x+y)=f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)}\]

    ως πρός y θεωρώντας το x αριθμητική σταθερά.

    \Big(f(x+y)\Big)'=(f(x)+f(y)+2\sqrt{f(xy)})' \Leftrightarrow

    \Big(f(x+y)\Big)'=\big(f(x)\big)'+\big(f(y)\big)'+\big(2\sqrt{f(xy)}\big)' \Leftrightarrow

    f'(x+y)\cdot (x+y)'=f'(x)\cdot(x)'+f'(y)+2\dfrac{1}{2\sqrt{f(xy)}}\cdot\Big(f(xy)\Big)' \Leftrightarrow

    f'(x+y))\cdot[(x)'+(y)']=f'(x)\cdot 0+f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot (xy)' \Leftrightarrow

    f'(x+y))\cdot(0+1)= 0+f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot x\cdot(y)' \Leftrightarrow

    f'(x+y))\cdot1= f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot x\cdot 1 \Leftrightarrow

    f'(x+y))= f'(y)+\dfrac{1}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\cdot x \Leftrightarrow

    f'(x+y)= f'(y)+\dfrac{x\cdot f'(xy)}{\sqrt{f(xy)}} \quad (2)

    Αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) και προκύπτει:

        \[f'(x)-f'(y)=-\frac{y-x}{\sqrt{f(xy)}}\cdot f'(xy)\]

    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *