ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται η συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $x^3+x, \quad x\leq1$ \\ $2x^2, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

Να βρείτε την f'(x)

Λύση

Για x<1 είναι f(x)=x^3+x, οπότε:

    \[f'(x)=(x^3+x)' =3x^2+1\]

Για x>1 είναι f(x)=2x^2, οπότε:

    \[f'(x)=(2x^2)' =4x\]

Εξετάζουμε αν η f συνεχής στο x_{0}=1

    \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+}(x^3+x) =1+1 =2\]

Επίσης

    \[\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-}2x^2 =2\]

Απο κριτήριο πλευρικων ορίων \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)= 2
Επίσης έχουμε:

    \[f(1)=2\]

Επομένως η f είναι συνεχής στο 1.
Εξετάζουμε αν η f παραγωγίζεται στο στο x_{0}=1
Θα πρεπει το \displaystyle\lim_{x\to 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός.
Έχουμε

    \begin{align*} &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}\dfrac{x^3+x-2}{x-1}=\\\\ &\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{x^3 -1+x-1}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{x^3 -1^{3}+x-1}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)(x^2+x+1)+x-1}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)(x^2+x+1)+(x-1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)[(x^2+x+1)+1]}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} \dfrac{(x -1)(x^2+x+1+1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^-}(x^2+x+2)=4 \end{align*}

Επισης

    \begin{align*} &\lim_{x \to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\\\ & \lim_{x \to 1^+}\dfrac{2x^2-2}{x-1}=\\\\ &\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x-1}=\\\\ &\lim_{x \to 1^+}2(x+1) =4 \end{align*}

Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1 με f'(1)=4. Επομένως είναι:

    \[f'(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $3x^2+1, \quad x\leq1$ \\ $4x, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *