ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'= f'\big( g(x)\big) \cdot g'(x)

Παραδείγματα


Παράγωγος της μορφής: \Big( g^{^{\alpha}}(x)\Big)' = \alpha g^{^{\alpha-1}}(x)\cdot g'(x).

Παράδειγμα
Να υπολογισθεί η παράγωγος \quad \Big( (x^{3}-4x)^{5}\Big)'
Λύση

    \begin{align*}                                            &\Big(\big(x^{3}-4x\big)^{5}\Big)'  =\\\\                                                   & 5\cdot \big(x^{3}-4x\big)^{5-1}\cdot(x^{3}-4x)'=\\\\                                            & 5\cdot\big(x^{3}-4x\big)^{4}\cdot \big( (x^{3})'- (4x)'\big)=\\\\                                            & 5\cdot (x^{3}-4x)^{4}\cdot(3x^{2}-4). \end{align*}

Παράγωγος της μορφής: \Big( g^{2}(x)\Big)' = 2 g(x)\cdot g'(x).

Παράδειγμα
Να υπολογίσετε την παράγωγο \big( \eta\mu ^{2}x\big)'
Λύση

    \begin{align*}                                  &\big( \eta\mu ^{2}x\big)'=\\\\                                  &\Big(\big(\eta\mu x\big)^{2}\Big)'= \\\\                                  &2\eta\mu x\cdot\big(\eta\mu x\big)'=\\\\                                  & 2\eta\mu x\cdot \sigma\upsilon\nu x \end{align*}

Παράγωγος της μορφης: \big(\eta\mu g(x)\big)'= \sigma\upsilon\nu g(x)\cdot g'(x).

Παράδειγμα
Να υπολογίσετε την παράγωγο \Big( \eta\mu x^{2}\Big)'
Λύση
\big(\eta\mu x ^{2}\big)'=\sigma\upsilon\nu x^{2}\cdot (x^{2})' = \sigma\upsilon\nu x^{2}\cdot 2x.

Παράγωγος της μορφης: \Big(\sigma\upsilon\nu g(x) \Big)'= -\eta\mu g(x)\cdot g'(x)

Παράδειγμα
Να υπολογίστε την παράγωγο \Big(\sigma\upsilon\nu e^{x}\Big)'
Λύση
\Big(\sigma\upsilon\nu e^{x}\Big)'=-\eta\mu e^{x}\cdot (e^{x})' = -\eta\mu e^{x}\cdot e^{x}.

Παράγωγος της μορφής
\big(\sqrt{g(x)}\big)'= \dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x)με g(x)>0
Παράδειγμα
Να υπολογίσετε την παράγωγο \Big( \sqrt{e^{x}}\Big)'
Λύση
\big(\sqrt{e^{x}}\big)' = \dfrac{1}{2\sqrt{e^{x}}}\cdot (e^{x})'= \dfrac{1}{2\sqrt{e^{x}}}\cdot e^{x}.

Παράγωγος της μορφής
\Big( \dfrac{1}{g(x)}\Big)'= - \dfrac{1}{g^{2}(x)}\cdot g'(x) με g(x)\neq 0.
Παράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος \Big( \dfrac{1}{2x+1}\Big)'
Λύση
για x\neq -\dfrac{1}{2} έχουμε

    \begin{align*}                                    & \Big( \dfrac{1}{2x+1}\Big)'=\\\\                                    & -\dfrac{1}{(2x+1)^{2}} \cdot(2x+1)'=\\\\                                    & -\dfrac{1}{(2x+1)^{2}}\cdot (2\cdot 1 +0 )=\\\\                                    & - \dfrac{1}{(2x+1)^{2}}\cdot 2=\\\\                                    &-\dfrac{2}{(2x+1)^{2}} \end{align*}

Παράγωγος της μορφής \Big(e^{^{g(x)}}\Big)' = e^{^{g(x)}} \cdot g'(x)

Παράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος \Big(e ^{3x}\Big)'
Λύση
\big( e^{3x}\big)'= e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}.

Παράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος \Big(e^{-x}\Big)'
Λύση
\big( e^{-x}\big)' = e^{-x}\cdot (-x)'= - e^{-x}.

Παράγωγος της μορφής \Big(\ln g(x)\Big)'= \dfrac{1}{g(x)}\cdot g'(x) με g(x)>0

Παράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος \Big(\ln (x-5)\Big)'
Λύση
Για x>5 έχουμε
\big( \ln (x-5) \Big)' = \dfrac{1}{x-5}\cdot (x-5)' = \dfrac{1}{x-5} \cdot 1= \dfrac{1}{x-5}.
Παράγωγος της μορφής \big(\epsilon\phi g(x)\big)'= \dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^{2}g(x)}\cdot g'(x) με \sigma\upsilon\nu g(x)\neq 0

Παράδειγμα να βρεθεί η παράγωγος \Big( \epsilon\phi (x^{2}+e^{x})\Big)'
Λύση
για \sigma\upsilon\nu(x^{2}+e^{x})\neq 0 έχουμε

    \begin{align*} &\Big(\epsilon\phi (x^{2}+e^{x})\Big)'=\\\\ &\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^{2} (x^{2}+e^{x})}\cdot (x^{2}+e^{x})'=\\\\ &\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^{2} (x^{2}+e^{x})}\cdot \big( (x^{2})' +(e^{x})'\big)=\\\\ &\dfrac{1}{\sigma\upsilon\nu^{2} (x^{2}+e^{x})}\cdot ( 2x +e^{x}) \end{align*}

Παράγωγος της μορφής \Big( \sigma\phi g(x)\Big)' =-\dfrac{1}{\eta\mu^{2}g(x)}\cdot g'(x).
με \eta\mu g(x)\neq0
Παράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος \Big( \sigma\phi x^{4}\Big)'
Λύση
για \eta\mu x^{4}\neq 0, έχουμε
\Big( \sigma\phi x^{4}\Big)'= -\dfrac{1}{\eta\mu^{2}x^{4}}\cdot(x^{4})' =-\dfrac{1}{\eta\mu^{2}x^{4}}\cdot 4x^{3}

Παράγωγος της μορφής
\Big(\alpha^{g(x)}\Big)'= \alpha^{g(x)}\cdot\ln \alpha \cdot g'(x) με \alpha >0
Παράδειγμα
Να υπολογισθεί η παράγωγος \Big( 4^{5x+1}\Big)'
Λύση
\Big( 4^{5x+1}\Big)'=  4^{5x+1}\cdot\ln 4 \cdot (5x+1)' = 4^{5x+1}\cdot\ln 4 \cdot 5x.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *