ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 2 με f'(2)=1
Να υπολογίσετε τα όρια:

i) \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}

ii)\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+4h)-f(2-h)}{h}

Λύση
i) Απο την μορφή που έχει το ζητούμενο όριο γιατην f'(2) θα χρησημοποιήσουμε τον ισοδύναμο ορισμό της παραγώγου.
δηλαδή

    \[f'(2)=1\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=1\]

Συνεπώς στο όριο \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}

θα θέσουμε 4h=u οπότε h=\dfrac{u}{4}

επίσης h\to 0 \Rightarrow \dfrac{u}{4}\to 0 \Rightarrow u \to 0.
Τελικά
\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h} = \displaystyle\lim_{u\to 0} \dfrac{f(2+u)-f(2)}{\frac{u}{4}}=

\displaystyle\lim_{u\to 0} 4\cdot \dfrac{f(2+u)-f(2)}{u} =4\cdot f'(2) =4\cdot1 =4

ii) Για να αξιοποιήσουμε το δεδομένο

    \[f'(2)=1\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=1\]

Θα πρεπει στο αριθμητή του ζητούμενου ορίου να προσθαφαιρέσουμε το f(2), δηλαδή:

    \begin{align*} 		&\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+4h)-f(2-h)}{h} =\\\\                 &\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+4h)-f(2)+f(2)-f(2-h)}{h}=\\\\ 		&\lim_{h\to 0}\Big [ \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}+\dfrac{f(2)-f(2-h)}{h}\Big]=\\\\                 &\lim_{h\to 0}\Big [ \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}-\dfrac{-f(2)+f(2-h)}{h}\Big]=\\\\                 &\lim_{h\to 0}\Big [ \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}-\dfrac{f(2-h)-f(2)}{h}\Big]\quad (1)     \end{align*}

Απο το i) έχουμε ότι: \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}=4.

Υπολογίζω το \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2-h)-f(2)}{h}

θέτουμε -h=u οπότε h=-u

επίσης h\to 0 \Rightarrow -u\to 0 \Rightarrow u \to 0.
δηλαδή \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2-h)-f(2)}{h}=\displaystyle\lim_{u\to 0} \dfrac{f(2+u)-f(2)}{-u}=\displaystyle\lim_{u\to 0} -\dfrac{f(2+u)-f(2)}{u}

οπότε \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2-h)-f(2)}{h}=-f'(2)=-1 \quad (2)

Συνεπώς απο το ερωτημα i) τη σχέση (2) η (1) μας δίνει ότι:

    \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+4h)-f(2-h)}{h}= 4 -1= 3.\]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *