ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=2
Να υπολογίσετε τα όρια

i) \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(2x)-f(0)}{x}

ii)\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(7x)-f(3x)}{x}

Λύση
Ξέρουμε ότι: f'(0) =\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}
Από υπόθεση έχουμε ότιf'(0)=2, συνεπώς:

f'(0)=2 \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2  \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2

i) Στο όριο \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(2x)-f(0)}{x} θέτουμε 2x=u  \Leftrightarrow  x=\dfrac{u}{2}\quad

Επίσης x\to 0\Rightarrow \dfrac{u}{2} \to 0 \Rightarrow u \to 0
οπότε

    \begin{align*} 		&\lim_{x \to 0}\frac{f(2x)-f(0)}{x} =\\\\                 &\lim_{u \to 0}\frac{f(u)-f(0)}{\frac{u}{2}}=\\\\ 		&\lim_{u \to 0}2\cdot\frac{f(u)-f(0)}{u}=\\\\                 &2\cdot f'(0)= 2\cdot2=4 	\end{align*}

ii)Για να υπολογίσουμε το όριο \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(7x)-f(3x)}{x}
πρεπει να αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι

    \[f'(0) =\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=2\]

γιαυτο το λόγο προσθαφαιρουμε το f(0) στον αριθμητή, δηλαδή:

    \begin{align*} 		                                        &  \lim_{x \to 0}\dfrac{f(7x)-f(3x)}{x}\\                                                         &=\lim_{x \to 0}\frac{f(7x)-f(0)+f(0)-f(3x)}{x}\\                                                         &=\lim_{x \to 0}\Big[\dfrac{f(7x)-f(0)}{x}+\frac{f(0)-f(3x)}{x}\Big]\\ 							&=\lim_{x \to 0}\Big[\dfrac{f(7x)-f(0)}{x}-\frac{f(3x)-f(0)}{x}\Big]\quad (1) 	\end{align*}

Υπολογισμός των ορίων \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(7x)-f(0)}{x} και \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(3x)-f(0)}{x}

Στο όριο \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(7x)-f(0)}{x} θέτουμε 7x=u  \Leftrightarrow  x=\dfrac{u}{7}\quad

Επίσης x\to 0\Rightarrow \dfrac{u}{7} \to 0 \Rightarrow u \to 0
οπότε

    \begin{align*} 		&\lim_{x \to 0}\frac{f(7x)-f(0)}{x} =\\\\                 &\lim_{u \to 0}\frac{f(u)-f(0)}{\frac{u}{7}}=\\\\ 		&\lim_{u \to 0}7\cdot\frac{f(u)-f(0)}{u}=\\\\                 &7\cdot f'(0)= 7\cdot2=14 \quad (2) 	\end{align*}

Με παρόμοιο τρόπο για το όριο \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(3x)-f(0)}{x} θέτουμε 3x=u  \Leftrightarrow  x=\dfrac{u}{3}\quad

Επίσης x\to 0\Rightarrow \dfrac{u}{3} \to 0 \Rightarrow u \to 0
οπότε

    \begin{align*} 		&\lim_{x \to 0}\frac{f(3x)-f(0)}{x} =\\\\                 &\lim_{u \to 0}\frac{f(u)-f(0)}{\frac{u}{3}}=\\\\ 		&\lim_{u \to 0}3\cdot\frac{f(u)-f(0)}{u}=\\\\                 &3\cdot f'(0)= 3\cdot2=6 \quad (3) 	\end{align*}

Τελικά η (1) λόγω (2) και (3) έχουμε οτι:

    \[\lim_{x \to 0}\dfrac{f(7x)-f(3x)}{x} =14-6=8.\]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *