ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 2 για την οποία ισχύει:

\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{xf(x)-2f(2)}{x-2}=7 \quad και \,\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2f(2)-4f(x)}{x-2}=-8

Να βρείτε τις τιμές f(2) και f'(2)

Λύση
Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 ισχύει ότι:

    \[f'(2)=\lim_{x \to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} \quad (1.)\]

Από υπόθεση έχουμε \displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{xf(x)-2f(2)}{x-2}=7 \quad
για να αξιοποιήσουμε την σχέση (1) θα προσθαφαιρέσουμε στον αριθμητή το xf(2) και έχουμε:

    \[\lim_{x \to 2}\frac{xf(x)+xf(2)-xf(2)-2f(2)}{x-2}=7\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x(f(x)-f(2))-f(2)(x-2)}{x-2}=7\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2}\Big[\frac{x(f(x)-f(2))}{x-2}+\frac{f(2)(x-2)}{x-2}\Big]=7\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2}\Big[x\cdot\frac{f(x)-f(2)}{x-2}+f(2)\Big]=7\Leftrightarrow\]

    \[2\cdot f'(2)+f(2)=7 \quad (2)\]

Επίσης απο υπόθεση έχουμε ότι:
\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2f(2)-4f(x)}{x-2}=-8
για να αξιοποιήσουμε την σχέση (1), αυτή τη φορά, θα προσθαφαιρέσουμε στον αριθμητή το 4f(2) και έχουμε:

    \[\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2f(2)-4f(x)}{x-2}=-8\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2f(2)+4f(2)-4f(2)-4f(x)}{x-2}=-8\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2}\dfrac{f(2)(x^2-4)-4(f(x)-f(2))}{x-2}=-8\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2}\Big[\dfrac{f(2)(x-2)(x+2)}{x-2}-\dfrac{4(f(x)-f(2))}{x-2}\Big]=-8\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2}\Big[f(2)\cdot(x+2)-4\cdot\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\Big]=-8\Leftrightarrow\]

    \[4\cdot f(2)-4\cdot f'(2)= -8\Leftrightarrow\]

    \[f(2)-f'(2)=-2 \quad (3)\]

Επομένως από τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε:

    \begin{align*} 			&\left\{         	\begin{tabular}{ll} 				$2\cdot f'(2)+f(2)=7$ \\\\ 				$f(2)-f'(2)=-2$  			\end{tabular} 			\right. \Leftrightarrow\\\\ 			&\left\{              \begin{tabular}{ll} 				$2\cdot f'(2)+f(2)=7$ \\\\ 				$f(2)=-2+f'(2)$  			\end{tabular} 			\right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{              \begin{tabular}{ll} 				$2\cdot f'(2)-2+f'(2) =7$ \\\\ 				$f(2)=-2+f'(2)$  			\end{tabular} 			\right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{              \begin{tabular}{ll} 				$3\cdot f'(2) =7+2$ \\\\ 				$f(2)=-2+f'(2)$  			\end{tabular} 			\right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{              \begin{tabular}{ll} 				$3\cdot f'(2) =9$ \\\\ 				$f(2)=-2+f'(2)$  			\end{tabular} 			\right. \Leftrightarrow\\\\ &\left\{              \begin{tabular}{ll} 				$ f'(2) =3$ \\\\ 				$f(2)=-2+3$  			\end{tabular} 			\right.\\\\ 	\end{align*}

Τελικά f'(2)=3 και f(2)=1.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *