ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=2 της οποίας η γραφική παράσταση δεν διέρχεται απο την αρχή των αξόνων. Επιπλέον ισχύει

    \[f(x+y)=f(x)f(y)-\eta\mu x \eta\mu y \quad \text{για κάθε} \quad x,y\in\mathbb{R}\]

i) Να βρείτε την τιμή f(0).
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in\mathbb{R} και ισχύει

    \[f'(x_{0})=2f(x_0)-\eta\mu x_0\]

Λύση
i) Αφου η σχέση f(x+y)=f(x)f(y)-\eta\mu x \eta\mu y ισχύει για κάθε x,y \in \mathbb{R} άρα θα ισχύει και για x=y=0 οπότε προκύπτει ότι:

    \begin{align*} 					&f(0)=f(0)f(0)-\eta\mu0\eta\mu0 \Leftrightarrow\\ 					&f(0)=f^2(0) \Leftrightarrow\\ 					&f^2(0)-f(0)=0 \Leftrightarrow\\ 					&f(0)(f(0)-1)=0 \Leftrightarrow\\ 					&\[\left\{       			                     \begin{tabular}{ll}       			                           $f(0)=0$ \\ 			                          $f(0)-1=0$  				             \end{tabular} 		                          \right. \ 				\end{align*}

Επειδή η f δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα f(0)\neq0.
έχουμε οτι f(0)=1.
ii) Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο x_{0}\in \mathbb{R} θα πρέπει το όριο

    \[\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός.
Επιπλέον έχουμε οτι η σχέση f(x+y)=f(x)f(y)-\eta\mu x \eta\mu y ισχύει για κάθε x,y \in \mathbb{R}
άρα θα ισχύει και για x=x_{0} και y= h οπότε προκύπτει ότι:

    \[f(x_{0}+h)=f(x_{0})f(h)-\eta\mu x_{0} \eta\mu h\]

Συνεπώς:

    \[f'(x_{0})= \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0)f(h)-\eta\mu x_0\eta\mu h-f(x_0)}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0)f(h)-f(x_0)-\eta\mu x_0\eta\mu h}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_0)(f(h)-1)-\eta\mu x_0\eta\mu h}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\Big[\dfrac{f(x_0)(f(h)-1)}{h}-\dfrac{\eta\mu x_0\eta\mu h}{h}\Big]. \quad(1)\]

Απο υπόθεση έχουμε οτι f'(0)=2 δηλαδή

    \begin{align*} 					&f'(0)=2 \Leftrightarrow\\ 					&\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=2 \Leftrightarrow\\ 					&\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=2.\quad (2) 				\end{align*}

Τελικά απο (1)και (2) έχουμε:

    \begin{align*} f'(x_{0})=&f(x_0)\cdot \displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{(f(h)-1)}{h}-\eta\mu x_0\cdot\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{\eta\mu h}{h}=\\          =&f(x_0)\cdot2-\eta\mu x_0 \cdot 1 \end{align*}

Επομένως η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in\mathbb{R} και ισχύει:

    \[f'(x_0)=2f(x_0)-\eta\mu x_0\]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

One thought on “ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *