ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[\lim_{x \to 0}\frac{xf(x)-\eta\mu^2 x}{x^2}=8\]

i) Να βρείτε την τιμή f(0).
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την f'(0).
iii) Να υπολογίσετε το

    \[\lim_{x \to 0}\frac{f(x)\eta\mu x}{\eta\mu^23x}\]

Λύση
i) Επειδή η f είναι συνεχής στο \mathbb{R} άρα και στο 0, οπότε έχουμε:
\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)
Συνεπώς αρκεί να υπολογίσουμε το \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)
Θέτουμε:

    \[\frac{xf(x)-\eta\mu^2 x}{x^2}=g(x), (1)\quad  \quad A_g=\mathbb{R}^{*}\]

Απο υπόθεση εχουμε ότι

    \[\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{xf(x)-\eta\mu^2 x}{x^2}=8\]

αρα

    \[\displaystyle\lim_{x \to 0}g(x)=8\]

Λύνουμε την (1) ως προς f(x) και έχουμε:

\dfrac{xf(x)-\eta\mu^2 x}{x^2}=g(x)\Leftrightarrow xf(x)-\eta\mu^2 x =x^{2}g(x)\Leftrightarrow

xf(x)=x^{2}g(x)+\eta\mu^2 x\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{x^2g(x)+\eta\mu^2x}{x}, x\in A_g

Τότε:

    \begin{eqnarray*} 				\lim_{x \to 0}f(x) &=& \lim_{x \to 0}\frac{x^2g(x)+\eta\mu^2x}{x}\\ 				&=& \lim_{x \to 0}(\frac{x^2g(x)}{x}+\frac{\eta\mu x\cdot\eta\mu x}{x})\\ 				&=& \lim_{x \to 0}(xg(x)+\frac{\eta\mu x}{x}\eta\mu x)\\ 				&=& 0\cdot 8+1\cdot 0 				= 0 			\end{eqnarray*}

Συνεπως \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0\Leftrightarrow f(0)=0.

ii) Ξέρουμε ότι f'(0)= \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Επειδή η f είναι συνεχής στο 0, έχουμε:
\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)=f(0) απο το i) ερώτημα έχουμε ότι \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)=0
άρα f(0)=0.
Έχουμε:

    \begin{align*} 				&\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x} 				=\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{x^2g(x)-\eta\mu^2 x}{x}}{x}\\\\ 				&=\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2g(x)-\eta\mu^2 x}{x^2} 				=\lim_{x \to 0}(\dfrac{x^2g(x)}{x^2}-\frac{\eta\mu^2 x}{x^2})\\\\ 				&=\lim_{x \to 0}\bigg(g(x)-\big(\dfrac{\eta\mu x}{x}\big)^{2}\bigg) 				=8-1=7 			\end{align*}

Επομένως είναι f'(0)=7
iii) Απο το προηγούμενο ερωτημα ξέρουμε ότι f'(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}=7
επίσης ξέρουμε ότι \displaystyle\lim \dfrac{\eta\mu x}{x} = 1 οπότε διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστη με το x^{2}
Συνεπώς το ζητούμενο όριο γίνεται:

    \begin{align*}  &\lim_{x \to 0}\frac{f(x)\eta\mu x}{\eta\mu^23x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{f(x)\eta\mu x}{x^2}}{\frac{\eta\mu^23x}{x^2}}=\\\\ &\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{f(x)}{x}\frac{\eta\mu x}{x}}{(\frac{\eta\mu3x}{x})^2}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{f(x)}{x}\frac{\eta\mu x}{x}}{(3\frac{\eta\mu3x}{3x})^2}=\\\\ &\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{f(x)}{x}\frac{\eta\mu x}{x}}{9(\frac{\eta\mu3x}{3x})^2}=\dfrac{7\cdot1}{9\cdot1}				=\dfrac{7}{9}. \end{align*}

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *