ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν:

  • Συνεχής στο κλειστό διάστημα [\alpha,\beta]
  • Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (\alpha,\beta) και
  • f(\alpha)=f(\beta).
    Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(\alpha,\beta) τέτοιο ώστε f'(\xi)=0
    Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
  • ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^2-5x+4 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f, η οποία:
    i) Έχει συντελεστή διεύθυνσης 3.
    ii) Είναι παράλληλη στην ευθεία (\zeta): y=5x-7.
    iii) Είναι κάθετη στην ευθεία (\eta):y=\frac{1}{7}x+\frac{13}{7}
    iv) Να είναι παράλληλη στο άξονα x'x.
    v) Να σχηματίζει γωνία 45^{\circ} με τον άξονα x'x.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

    ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

    Παράδειγμα.1
    Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^2-5x+9 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f στο σημείο της A(2,f(2)).
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ

    ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μια συνάρτηση 1-1 και παραγωγίσιμη. Τότε και η αντίστροφή της f^{-1} είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in f(A) με την προυπόθεση ότι f'(f^{-1}(x_0))\neq0.
    Συνεπώς για κάθε x\in A ισχύει ότι:

        \[f^{-1}(f(x))=x\]

    Παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει ότι:

        \begin{align*} 	&\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ 	&\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

    Παράδειγμα
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει

        \[f^3(x)+3xf(x)=x^3-1, \quad x\in\mathbb{R}\]

    Να βρείτε τις τιμές f(0) και f'(0)
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    Έστω ότι έχουμε μια σχέση δύο μεταβλητών x,y\in\mathbb{R} στην οποία τα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Τότε μπορούμε:

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (f(x))^{g(x)}

    Για κάθε πραγματικό αριθμό \alpha>0 ισχύει ότι: \alpha=e^{ln\alpha}
    Μια συνάρτηση της μορφής f(x)=(g(x))^{h(x)} ορίζεται όταν: g(x)>0 και h(x)\in\mathbb{R}
    Για να βρούμε την f'(x), γράφουμε τον τύπο της f(x) ως εξής:

        \begin{align*} f(x)&=(g(x))^{h(x)}\\\\ 	&=e^{ln[g(x)]^{h(x)}}\\\\ 	&=e^{h(x)lng(x)} \end{align*}

    Οπότε έχουμε f'(x) = \Big(e^{^{h(x)lng(x)}}\Big)' =e^{^{h(x)lng(x)}}\cdot(h(x)lng(x))'
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (f(x))^{g(x)}