ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2\]

για κάθε x\in\mathbb{R}.
Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την f'(0).

Λύση
Πρέπει να υπολογίσουμε το όριο

    \[\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\]

Αρχικά πρέπει να βρούμε την τιμή f(0). Στη σχέση:

    \[2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2 \quad (1)\]

θέτουμε x=0 και προκύπτει:

    \[2\cdot 0-3\cdot 0^2\leq f(0) \leq 2 \cdot 0+0^2 \Leftrightarrow\]

    \[0\leq f(0)\leq 0\]

    \[\Leftrightarrow f(0)=0\]

Το όριο που πρέπει να υπολογίσουμε γίνεται

    \[\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}\]

Έχουμε:
*Αν x>0 τότε ισχύει:

    \[2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2 \quad \]

    \[\dfrac{2x-3x^2}{x}\leq\frac{f(x)}{x}\leq\dfrac{2x+x^2}{x}\]

Βρίσκουμε ότι:

    \begin{eqnarray*} 				\lim_{x \to 0^+}\dfrac{2x-3x^2}{x} &=& \lim_{x \to 0^+}\dfrac{x(2-3x)}{x}\\ 				&=& \lim_{x \to 0^+}(2-3x)=2. 			\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 				\lim_{x \to 0^+}\dfrac{2x+x^2}{x} &=& \lim_{x \to 0^+}\dfrac{x(2+x)}{x}\\ 				&=& \lim_{x \to 0^+}(2+x)=2. 			\end{eqnarray*}

Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι:

    \[\lim_{x \to 0^+}\dfrac{f(x)}{x}=2 \quad (2)\]

*Αν x<0 τότε ισχύει:

    \[2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2 \quad \]

    \[\dfrac{2x-3x^2}{x}\geq\frac{f(x)}{x}\geq\dfrac{2x+x^2}{x}\]

Βρίσκουμε ότι:

    \begin{eqnarray*} 				\lim_{x \to 0^-}\dfrac{2x-3x^2}{x}&=&\lim_{x \to 0^-}\dfrac{x(2-3x)}{x}\\ 				&=&\lim_{x \to 0^-}(2-3x) 				=2 			\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} 				\lim_{x \to 0^-}\dfrac{2x+x^2}{x} &=& \lim_{x \to 0^-}\dfrac{x(2+x)}{x}\\ 				&=&\lim_{x \to 0^-}(2+x) 				=2 			\end{eqnarray*}

Σύμφωνα με τι κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι:

    \[\lim_{x \to 0^-}\dfrac{f(x)}{x}=2 \quad (3)\]

Απο τις σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι:

    \[\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}=2 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=2\Leftrightarrow 		f'(0)=2\]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *