ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{         	\begin{tabular}{ll} 				$x^3,  \quad x \geq2$ \\ 				$x^2+\alpha x+\beta, \quad x < 2$  			\end{tabular} 		\right.  		\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha,\beta\in\mathbb{R}, ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 2.

Λύση
Για να είναι η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 2, πρέπει να είναι και συνεχής στο 2.
Δηλαδή θα ισχύει ότι \displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) =f(2).

Επειδή στο x_{0} = 2 αλλάζει κλάδο η συνάρτηση θα ισχύει ότι:

    \[\lim_{x \to 2^-}f(x)=\lim_{x \to 2^+}f(x)\Leftrightarrow\]

    \[\lim_{x \to 2^-}x^3=\lim_{x \to 2^+}(x^2+\alpha x+\beta)\Leftrightarrow\]

    \[2^3=2^2+2\alpha+\beta \Leftrightarrow\]

    \[2\alpha+\beta=4 \Leftrightarrow\]

    \[\beta=4-2\alpha \quad (1)\]

Έτσι ο τύπος της f γίνεται:

    \[f(x)=\left\{ 			\begin{tabular}{ll} 				$x^3,  \quad x \geq2$ \\ 				$x^2+\alpha x+4-2\alpha, \quad x < 2$  			\end{tabular} 		\right.  		\]

Αφού η f θέλουμε να είναι παραγωγίσιμη στο 2 ισχύει:

    \[f'(2) =\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\]

Συνεπώς

    \[\lim_{x \to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\]

Αφού f(2)=8. Έχουμε:

    \begin{eqnarray*}                         &  &\lim_{x \to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\ 			&=&\lim_{x \to 2^-}\frac{x^2+\alpha x+4-2\alpha-8}{x-2}\\\\                         &=&\lim_{x \to 2^-}\frac{x^2+\alpha x-4-2\alpha}{x-2}\\\\                         &=&\lim_{x \to 2^-}\frac{(x^2-4)+(\alpha x-2\alpha)}{x-2}\\\\ 			&=&\lim_{x \to 2^-}\frac{(x-2)(x+2)+\alpha(x-2)}{x-2}\\\\ 			&=&\lim_{x \to 2^-}\frac{(x-2)(x+2+\alpha)}{x-2}\\\\ 			&=&\lim_{x \to 2^-}(x+2+\alpha)\\ 			&=&4+\alpha 		\end{eqnarray*}

Επίσης έχουμε:

    \begin{eqnarray*} 			& &\lim_{x \to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\\\                         &=&\lim_{x \to 2^+}\frac{x^3-8}{x-2}\\\\                         &=&\lim_{x \to 2^+}\frac{x^3-2^{3}}{x-2}\\\\ 			&=&\lim_{x \to 2^+}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}\\\\ 			&=&\lim_{x \to 2^+}(x^2+2x+4)\\ 			&=&4+4+4=12. 		\end{eqnarray*}

Οπότε:

    \[\lim_{x \to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\Leftrightarrow\]

    \[\Leftrightarrow 4+\alpha=12 \Leftrightarrow \alpha=8\]

Τέλος από τη σχέση (1) βρίσκουμε ότι:
\beta = 4-2\cdot 8=-12

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *