ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Όταν μας ζητούν να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης f(x) πολλαπλού τύπου σε ένα σημείο x_o στο οποίο αλλάζει ο τύπος εργαζόμαστε ως εξής:
* Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια:

    \[\lim_{x \to x_o^-}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και

    \[\lim_{x \to x_o^+}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

* Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με έναν πραγματικό αριθμό l τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x_o και ισχύει f'(x_o)=l. Σε κάθε άλλη περίπτωση η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_o.

Παράδειγμα
Να βρείτε αν υπάρχει η παράγωγος της συνάρτησης

    \[ f(x)=\left\{       			\begin{tabular}{ll}       			$x^2+3x,  \quad x <0$ \\ 				$2x+\eta\mu x, \quad x \geq 0$  				\end{tabular} 		\right. \]

Λύση
Απο τον ορισμο της παραγωγου στο x_{0} έχουμε

    \[f'(x_{0})=\displaystyle\lim_{x \to x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\]

για x_{0}=0 έχουμε

    \[f'(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Leftrightarrow  f'(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\]

Επειδή στο 0 αλλάζει κλάδο η συνάρτηση θα πρέπει να υπολογίσουμε τα παρακάτω πλευρικά όρια:

    \[f'_{-}(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]

και

    \[f'_{+}(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]

Είναι:
f(0)= 2\cdot0+\eta\mu0	=0
Έχουμε:

    \[f'_{-}(0)=	\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^-}\frac{x^2+3x-0}{x-0}=\]

    \[\lim_{x \to 0^-}\frac{x^2+3x}{x}=\lim_{x \to 0^-}\frac{x(x+3)}{x}=\lim_{x \to 0^-}(x+3)=3\]

Επίσης έχουμε:

    \[f'_{+}(0)=\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x+\eta\mu x-0}{x-0}=\]

    \[\lim_{x \to 0^+}\frac{2x+\eta\mu x}{x}=\lim_{x \to 0^+}(\frac{2x}{x}+\frac{\eta\mu x}{x})=\lim_{x \to 0^+}(2+\frac{\eta\mu x}{x})=\]

    \[= 2+1=3.\]

Συνεπώς καταλήξαμε ότι

    \[f'_{-}(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3\]

και

    \[f'_{+}(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3.\]

Αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα, απο το κριτήριο πλευρικών ορίων, ισχύει ότι:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=3 \Leftrightarrow f'(0)=3\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *