ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_o του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

    \[ \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_o και συμβολίζεται με f'(x_o). Δηλαδή:

    \[f'(x_o)=\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Αν, τώρα στo όριο θέσουμε
x=x_o+h  \,\, (1), τότε έχουμε

    \[x \to x_{o}\overset{(1)}{\Rightarrow}x_o+h \to x_{0} \Rightarrow h \to x_{0}-x_{0}\Rightarrow h \to 0\]

Επίσης x-x_{0} \overset{(1)}{=} x_{0} +h -x_{0} =h άρα

f'(x_o)=\displaystyle\lim_{x \to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\Leftrightarrow f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}

Συνεπως ο ισοδύναμος ορισμός υπολόγισμου της παραγώγου είναι:

    \[f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}\]

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^2-2x Να βρείτε την f'(2).
Λύση

    \[f'(2)=\lim_{x \to +2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} =\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x-(2^{2}-2\cdot 2)}{x-2}=\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x-(4-4)}{x-2}=\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x-4+4}{x-2}=\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x}{x-2}=\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x(x-2)}{x-2}\]

    \[\lim_{x \to 2}x=2\]

Αφού το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 2 και ισχύει f'(2)=2.
β. τρόπος: με τον ισοδύναμο ορισμο υπολογισμού της παραγώγου.

    \[f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\]

    \[\lim_{h \to 0}\frac{(2+h)^{2}-2(2+h)-(2^{2}-2\cdot 2)}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\frac{4+4h+h^{2}-(4+2h)-(4-4)}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\frac{4+4h+h^{2}-4-2h-4+4}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\frac{2h+h^{2}}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}\frac{h(2-h)}{h}=\]

    \[\lim_{h \to 0}(2-h)=2.\]

Άρα f'(2)=2.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *