ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Print Friendly, PDF & Email

Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα A. Τότε το σύνολο τιμών της f το f(A) θα είναι το παρακάτω στις αντίστοιχες περιπτώσεις:

  • A=\left[\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε
    f(A)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]
  • A=\left[\alpha,\beta\right] με fΓνησίως φθίνουσα τότε
    f(A)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]
  • A=\left(\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]
  • A=\left(\alpha,\beta\right]με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}
  • A=[\alpha,\beta) με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
  • A=[\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]
  • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
  • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσατότε f(A)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x}-\ln(9-x).

i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
ii)Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
iii)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \sqrt{x}-\ln(9-x)=e έχει ακριβώς μια λύση.
Λύση
Η συνάρτηση f(x)=\sqrt{x}-\ln(9-x) ορίζεται όταν:
x\geq 0
και
9-x>0\Leftrightarrow x<9
Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A=\left[0,9\right).
i) Έστω x_1,x_2\in\left[0,9\right) με x_1<x_2. Τότε έχουμε:

    \[x_1<x_2\Leftrightarrow  \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}\]

x_1<x_2\Leftrightarrow -x_1 > -x_2\Leftrightarrow  9-x_1 > 9-x_2 \Leftrightarrow  \ln(9-x_1)>\ln(9-x_2)\Leftrightarrow

    \[\Leftrightarrow  -\ln(9-x_1)< -\ln(9-x_2)\]

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει ότι:
\sqrt{x_1}-\ln(9-x_1) < \sqrt{x_2}-\ln(9-x_2)\Leftrightarrow  f(x_1)<f(x_2)
Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο A.
ii) Η f, που έχει πεδίο ορισμού το A=\left[0,9\right), είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το

    \[f(A)=\left[f(0),\displaystyle\lim_{x\to 9^-}f(x)\right)\]

Είναι:

    \[f(0)=0-\ln9=-ln9\]

\displaystyle\lim_{x\to 9^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 9^-}{\left(\sqrt{x}-\ln(9-x)\right)}=3-\ln0=3-(-\infty)=+\infty
Επομένως είναι f(A)=\left[-\ln9,+\infty\right)
iii)Το e\in f(A) άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \left[-\ln9,+\infty\right).
Η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως η λύση της εξίσωσης είναι μοναδική.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *