ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο \left[\alpha,\beta\right], τότε η f παίρνει στο \left[\alpha,\beta\right] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m.
Δηλαδή, υπάρχουν x_1,x_2\in\left[\alpha,\beta\right] τέτοια ώστε, αν m=f(x_1) και M=f(x_2), να ισχύει

    \[m\leq f(x)\leq M, \quad \text{για κάθε} \quad x\in\left[\alpha,\beta\right]\]

Αν m =M Τότε η f είναι σταθερή στο [\alpha , \beta]

    ΣΧΟΛΙΟ

  1. Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το \left[\alpha,\beta\right] είναι το κλειστό διάστημα \left[m,M\right], όπου m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της.
  2. Εστω f μια συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα \Delta = [\alpha, \beta]. Αν m\leq \eta \leq M, τότε το \eta ανηκει στο σύνολο τιμών της f στο \Delta δηλαδή \eta  \in f(\Delta).
    Συνεπώς, απο Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{0}\in \Delta= [\alpha, \beta], τέτοιο ώστε f(x_{0})=\eta.

  3. Αν m\leq \eta \leq M και η f γνησίως μονότονη στο \Delta=[\alpha, \beta] τότε η εξίσωση f(x)=\eta έχει μια ακριβώς ρίζα στο \Delta.
    Παράδειγμα
    Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : \left[ 2 , 5 \right] \to \RR. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x_o \in \left[ \alpha, \beta \right] τέτοιο ώστε

        \[10f(x_o)=7f(3)+3f(4)\]

    Λύση
    Η αρχική σχέση γίνεται:

        \[10f(x_o)=7f(3)+3f(4)\Leftrightarrow f(x_o)=\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}\]

    Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \left[ 2 ,5\right]. Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η συνάρτηση f παίρνει στο διάστημα \left[2,5\right] μια ελάχιστη mκαι μια μέγιστη τιμή M. Δηλαδή υπάρχουν x_1,x_{2}\in\left[2,5\right], τέτοια ώστε f(x_1)=m και f(x_2)=M για τα οποία ισχύει:

        \[m\leq f(x)\leq M \quad \text{για κάθε}\quad x\in\left[2,5\right]\]

    Επομένως ισχύουν:

        \[m\leq f(3)\leq M\Leftrightarrow 7m\leq 7f(3)\leq 7M\]

        \[m\leq f(4)\leq M\Leftrightarrow3m\leq f(4)\leq 3M\]

    Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει ότι:
    10m\leq 7f(3)+4f(3)\leq 10M\Leftrightarrow m\leq \dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}\leq M
    Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
    *Αν m=M, τότε η f είναι σταθερή και έτσι μπορούμε να επιλέξουμε τυχαίο x_o\in\left[2,5\right] ώστε:

        \[f(x_o)=\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}\]

    *Αν m<M, τότε το σύνολο τιμών της f είναι το \left[m,M\right] και ο αριθμός

        \[\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}\in\left[m,M\right]\]

    οπότε υπάρχει υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\in\left[2,5\right] τέτοιο ώστε

        \[f(x_o)=\dfrac{7f(3)+3f(4)}{10}.\]

    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *