Αν η είναι συνεχής συνάρτηση στο
, τότε η
παίρνει στο
μια μέγιστη τιμή
και μια ελάχιστη τιμή
.
Δηλαδή, υπάρχουν τέτοια ώστε, αν
και
, να ισχύει
Αν Τότε η
είναι σταθερή στο
- ΣΧΟΛΙΟ
- Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης
με πεδίο ορισμού το
είναι το κλειστό διάστημα
, όπου
η ελάχιστη και
η μέγιστη τιμή της.
- Εστω
μια συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα
Αν
τότε το
ανηκει στο σύνολο τιμών της
στο
δηλαδή
Συνεπώς, απο Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει ένα τουλάχιστοντέτοιο ώστε
- Αν
και η
γνησίως μονότονη στο
τότε η εξίσωση
έχει μια ακριβώς ρίζα στο
Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι υπάρχει
τέτοιο ώστε
Λύση
Η αρχική σχέση γίνεται:Η
είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα
. Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η συνάρτηση
παίρνει στο διάστημα
μια ελάχιστη
και μια μέγιστη τιμή
. Δηλαδή υπάρχουν
, τέτοια ώστε
και
για τα οποία ισχύει:
Επομένως ισχύουν:
Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες προκύπτει ότι:
Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
*Αν, τότε η
είναι σταθερή και έτσι μπορούμε να επιλέξουμε τυχαίο
ώστε:
*Αν
, τότε το σύνολο τιμών της
είναι το
και ο αριθμός
οπότε υπάρχει υπάρχει ένα τουλάχιστον
τέτοιο ώστε
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .









