ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[-3,3]\to\mathbb{R} για την οποία ισχύει
x^2+f^2(x)=9, \quad για κάθε x \in[-3,3].

i) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
ii) Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0,3) να βρείτε τον τύπο της f.

Λύση
Για κάθε x\in [-3,3] ισχύει ότι:

    \[x^2+f^2(x)=9\Leftrightarrow f^2(x)=-x^2+9\quad (1)\]

* Έχουμε:
f(x)=0\Leftrightarrow  f^2(x)=0\Leftrightarrow -x^2+9=0\Leftrightarrow  x^2=9\Leftrightarrow  x=\pm 3

ii) Από της σχέση (1) προκύπτει ότι για κάθε x\in[-3,3] ισχύει ότι:

f^2(x)=-x^2+9\Leftrightarrow  \sqrt{f^2(x)}=\sqrt{-x^2+9}\Leftrightarrow |f(x)|=\sqrt{-x^2+9}\quad (2)
Όμως η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-3,3] και ισχύει f(x)\neq 0 για κάθε x\in(-3,3).
Άρα η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-3,3).
Επίσης η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0,3), οπότε έχουμε f(0)=3>0.
Επομένως ισχύει ότι f(x)>0 για κάθε x\in(-3,3).

Επίσης είναι f(-3)=f(3)=0, οπότε ισχύει: f(x)\geq 0 \quad για κάθε \quad x\in[-3,3].
Έτσι από τη σχέση (2) έχουμε:

    \[|f(x)|=\sqrt{-x^2+9}\Leftrightarrow  f(x)=\sqrt{-x^2+9}\]

για κάθε \quad x\in[-3,3]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *