ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x)=\sqrt{2}συνx-1

ως προς τα πρόσημα στο διάστημα \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

Λύση
Λύνουμε την εξίσωση:
f(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{2}συνx-1=0\Leftrightarrow

συνx=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrowσυνx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow  x=\dfrac{\pi}{4}\quad ή \quad x=-\dfrac{\pi}{4}

αφού x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία χωρίζεται το πεδίο ορισμού της από τις διαδοχικές ρίζες. Επιλέγουμε έναν αριθμό σε καθένα από τα διαστήματα και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό.
Στο \left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4}\right] επιλέγουμε το -\dfrac{\pi}{6}.
Είναι:
f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2}συν\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)-1=\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1<0

Άρα ισχύει ότι f(x)<0 για κάθε x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4}\right]

Στο \Big[ -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\Big] επιλέγουμε το 0.
Έχουμε
f(0)=\sqrt{2}συν0-1=\sqrt{2}\cdot 1 -1 =\sqrt{2}-1>0.
Άρα ισχύει ότι f(x)>0 για κάθε x\in  \Big[ -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\Big]

Τέλος στο \Big[ \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\Big] επιλέγουμε το \dfrac{\pi}{6}. οπότε

f(\dfrac{\pi}{6})= \sqrt{2}συν\dfrac{\pi}{6}-1=\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1<0

Άρα ισχύει ότι f(x)<0 για κάθε x\in  \Big[ \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\Big]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

One thought on “ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *