ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ εργαζόμαστε ως εξής:
* Λύνουμε την εξίσωση f(x)=0
* Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.
* Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που δημιουργούνται επιλέγουμε κατάλληλο αριθμο \xi και βρίσκουμε το πρόσημο της τιμής f(\xi). Το πρόσημο αυτό έχει η f σε ολόκληρο το αντίστοιχο υποδιάστημα.

Παράδειγμα
Να βρείτε το πρόσημο της f(x)= x^{3}-4x για όλες τις πραγματικές τιμές του x.
Λύση
Λύνουμε την εξίσωση

    \[f(x)=0\Leftrightarrow x^{3}-4x=0 \Leftrightarrow x(x^{2}-4)=0 \Leftrightarrow\]

    \begin{displaymath}         \left\{ \begin{array}{l l}             x = 0 \\             x^{2}-4 =0            \end{array} \right.                \Leftrightarrow            \left\{ \begin{array}{l l}             x = 0 \\             x^{2}=4             \end{array} \right.            \Leftrightarrow            \left\{ \begin{array}{l l}             x = 0 \\             x=\pm 2             \end{array} \right.         \end{displaymath}

Η f(x)=x^{3}-4x είναι συνεχής στο A_{f}=\mathbb{R}. Απο τις συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano
η f διατηρεί σταθερό πρόσημo στα διαστήματα που δεν μηδενίζεται δηλαδή στα

    \[(-\infty ,-2), \, (-2,0), \, (0,2), \, (2, +\infty)\]

Συνεπώς επιλέγουμε τυχαιους αριθμούς σε καθε ένα απο τα διαστηματα αυτα για να βγαλουμε συμπερασμα
για το προσημο της f στα αντίστοιχα διαστήματα.
prosimo_f

´Εχουμε
-4\in (-\infty, -2) με f(-4) =(-4)^{3}-4\cdot(-4)=-48 < 0
Άρα f(x)<0 στο (-\infty, -2)

-1\in (-2, 0) με f(-1) =(-1)^{3}-4\cdot(-1)=3> 0
Άρα f(x)>0 στο (-2,0)

1\in (0,2) με f(1) =(1)^{3}-4\cdot(1)=-3< 0
Άρα f(x)<0 στο (0,2)

+3\in (2, +\infty) με f(3) =(3)^{3}-4\cdot(3)=15> 0Άρα f(x)>0 στο (0, +\infty)
Παρατήρηση
Την παραπάνω μέθοδο την χρησιμοποιούμε μονο σε περιπτωσεις που δεν μπορουμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο με τον πίνακα προσήμων
πχ

pinakas_a

Δείτε ενα σύνθετο παράδειγμα εδώ
http://diakopoulos.net/2015/10/21/301/

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *