ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

Δείξετε ότι η εξίσωση ln x=x^2-4x+2 έχει μία τουλάχιστον λύση στο (0,1).

Λύση
Για x>0 η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

    \[ln x=x^2-4x+2\Leftrightarrow  ln x-x^2+4x-2=0.\]

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[f(x)=\ln x-x^2+4x-2, \quad A_{f}=(0,+\infty)\]

Παρατηρούμε ότι:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}{\left(\ln x-x^2+4x-2\right)}=-\infty\]

Αφού \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{f(x)}=-\infty,

τότε θα υπάρχει x_1\in(0,1) τέτοιο ώστε f(x_1)<0.

Παρατηρούμε ότι:
H f είναι συνεχής στο [x_1,1]\subseteq (0,1)\subseteq A_{f}
ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
Είναι f(x_1)<0 και f(1)=ln 1-1^2+4-2=1>0,
δηλαδή ισχύει ότι f(x_1)\cdot f(1)<0.
Σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση:

    \[f(x)=0\Leftrightarrow ln x-x^2+4x-2=0\Leftrightarrow\]

    \[ln x=x^2-4x+2\]

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (x_1,1)\subseteq (0,1).

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *