Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής έχει μοναδική ρίζα στο εργαζόμαστε ως εξής:
* Με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano βρίσκουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα .
* Αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο , οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.
Παράδειγμα
Δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο η οποία ανήκει στο διάστημα
Λύση
Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
Η είναι συνεχής στο , άρα και στο ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:
Άρα ισχύει ότι . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
Θα μελετήσουμε την ως προς τη μονοτονία.
Έστω με . Έχουμε:
Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες και προκύπτει ότι:
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα στο Σύμφωνα με τα παραπάνω η εξίσωση:
έχει ακριβώς μία ρίζα η οποία ανήκει στο διάστημα .
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .