Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής έχει τουλάχιστον ρίζες σε ένα διάστημα χωρίζουμε το σε κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για την σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.
Παράδειγμα
Δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο λύσεις
Λύση
Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:
Θεωρούμε τη συνάρτηση
Η είναι συνεχής στο ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:
Επομένως έχουμε:
Η είναι συνεχής στο και ισχύει ότι . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
Η είναι συνεχής στο και ισχύει ότι . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση:
έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .