Ύπαρξη \nu ριζών

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει τουλάχιστον \nu ρίζες σε ένα διάστημα (\alpha,\beta) χωρίζουμε το (\alpha,\beta) σε \nu κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.

Παράδειγμα
Δείξετε ότι η εξίσωση x^5+2=4x^2 έχει τουλάχιστον δύο λύσεις (-1,1).
Λύση
Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

    \[x^5+2=4x^2\Leftrightarrow x^5+2-4x^2=0\]

Θεωρούμε τη συνάρτηση

    \[f(x)=x^5+2-4x^2\quad\text{με}\quad x\in\mathbb{R}\]

Η f είναι συνεχής στο [-1,1] ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:

    \[f(-1)=(-1)^5+2-4(-1)^2=-1+2-4=-3<0\]

    \[f(0)=(0)^5+2-4(0)=2>0\]

    \[f(1)=(1)^5+2-4(1)^2=1+2-4=-1<0\]

Επομένως έχουμε:
Η f είναι συνεχής στο [-1,0] και ισχύει ότι f(-1)\cdot f(0)<0. Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-1,0).
Η f είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει ότι f(0)\cdot f(1)<0. Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1).
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση:

    \[f(x)=0\Leftrightarrow x^5+2-4x^2=0\Leftrightarrow x^5+2=4x^2\]

έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα (-1,1).

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *