Ύπαρξη ριζών

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής $f(x)=0$ έχει τουλάχιστον $\nu$ ρίζες σε ένα διάστημα $(\alpha,\beta)$ χωρίζουμε το $(\alpha,\beta)$ σε $\nu$ κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για την $f$ σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.

Παράδειγμα
Δείξετε ότι η εξίσωση $x^5+2=4x^2$ έχει τουλάχιστον δύο λύσεις $(-1,1).$
Λύση
Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$x^5+2=4x^2\Leftrightarrow x^5+2-4x^2=0$

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$f(x)=x^5+2-4x^2\quad\text{με}\quad x\in\mathbb{R}$

Η $f$ είναι συνεχής στο $[-1,1]$ ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:

$f(-1)=(-1)^5+2-4(-1)^2=-1+2-4=-3<0$

$f(0)=(0)^5+2-4(0)=2>0$

$f(1)=(1)^5+2-4(1)^2=1+2-4=-1<0$

Επομένως έχουμε:
Η $f$ είναι συνεχής στο $[-1,0]$ και ισχύει ότι $f(-1)\cdot f(0)<0$ . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(-1,0)$ .
Η $f$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ και ισχύει ότι $f(0)\cdot f(1)<0$ . Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0,1)$ .
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση: