Απόδειξη μοναδικότητας ρίζας σε διάστημα

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα στο (\alpha,\beta) εργαζόμαστε ως εξής:

* Με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano βρίσκουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα x_o\in (\alpha,\beta).
* Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (\alpha, \beta), οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική.

Παράδειγμα
Δείξετε ότι η εξίσωση x^3=-3x-1 έχει μοναδική ρίζα στο \mathbb{R} η οποία ανήκει στο διάστημα (-1,0).
Λύση
Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

    \[x^3=-3x-1\Leftrightarrow x^3+3x+1=0\]

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[f(x)=x^3+3x+1, x\in\mathbb{R}\]

Η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}, άρα και στο [-1,0] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:

    \[f(-1)=(-1)^3+3(-1)+1=-3\]

    \[f(0)=(0)^3+3(0)+1=1\]

Άρα ισχύει ότι f(-1)f(0)<0. Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-1,0).
Θα μελετήσουμε την f ως προς τη μονοτονία.
Έστω x_1,x_2\in\mathbb{R} με x_1<x_2. Έχουμε:

    \[x_1<x_2\Leftrightarrow x_{1}^3<x_{2}^3\]

    \[x_1<x_2\Leftrightarrow3x_1<3x_2\Leftrightarrow3x_1+1<3x_2+1\]

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες και προκύπτει ότι:

    \[x_{1}^3+3x_1+1<x_{2}^3+3x_2+1\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)\]

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μια ρίζα στο \mathbb{R}. Σύμφωνα με τα παραπάνω η εξίσωση:

    \[f(x)=0\Leftrightarrow x^3+3x+1=0\Leftrightarrow x^3=-3x-1\]

έχει ακριβώς μία ρίζα η οποία ανήκει στο διάστημα (-1,0).

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *