Απόδειξη ρίζας σε κλειστο διάστημα [a,b]

Print Friendly, PDF & Email

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει x_o\in[\alpha,\beta] που ικανοποιεί μία ισότητα, εργαζόμαστε ως εξής:
* Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ισότητας στο πρώτο μέλος, θέτουμε όπου x_o το x και ονομάζουμε h(x) τη συνάρτηση στο πρώτο μέλος.
* Αποδεικνύουμε ότι η h είναι συνεχής στο [\alpha ,\beta] και διαπιστώνουμε ότι h(\alpha)\cdot h(\beta)\leq 0.
* Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
1) Αν: h(\alpha)\cdot h(\beta)=0\Rightarrow h(\alpha)=0\quad ή \quad h(\beta)=0
Οπότε είναι x_o=\alpha \quad ή \quad x_o=\beta
2) Αν h(\alpha)\cdot h(\beta)<0, τότε από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\in(\alpha , \beta), ώστε h(x_o)=0.
* Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει x_o\in [\alpha,\beta] ώστε h(x_o)=0.

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:\left[ 0,\dfrac{\pi}{2}\right]\to[0,1]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει x_o\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], ώστε f(x_o)+ημx_o=\dfrac{4x_o}{\pi}.
Λύση
Στη σχέση, f(x_o)+ημx_o=\dfrac{4x_o}{\pi}, που μας δίνουν αντικαθιστούμε το x_{0} με x και τα μεταφέρουμε όλα στο πρώτο μέρος δηλαδή έχουμε

f(x)+ημx-\dfrac{4x}{\pi}=0.

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

h(x)=f(x)+ημx-\dfrac{4x}{\pi},\quad \text{με} \quad x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]

Η h(x) είναι συνεχής στο \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:
h(0)=f(0)+ημ0-\dfrac{4\cdot 0}{\pi}=f(0)
και
h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+ημ\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{4\cdot\dfrac{\pi}{2}}{\pi}=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+1-2=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-1
Απο υπόθεση έχουμε
f:\left[ 0,\dfrac{\pi}{2}\right]\to[0,1], αυτο σημαίνει ότι για κάθε x \in [0, \dfrac{\pi}{2}]
έχουμε ότι 0\leq f(x)\leq 1, οπότε
0\leq f(0) και f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\leq 1 \Rightarrow f(\dfrac{\pi}{2})-1\leq 0.
Άρα έχουμε ότι:

    \[h(0)\cdot h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=f(0)\cdot \Big(f(\dfrac{\pi}{2})-1\Big)\leq 0\]

Διακρίνουμε περιπτώσεις:
περ.1.
Αν h(0)\cdot h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\Rightarrow h(0)=0 ή h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, τότε η εξίσωση έχει ρίζα το 0 ή το \dfrac{\pi}{2}.
περ.2.
Αν h(0)\cdot h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < 0, τότε από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) τέτοιο ώστε h(x_o)=0.

Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] τέτοιο ώστε:
h(x_o)=0\Leftrightarrow f(x_{0})+ημx_{0}-\dfrac{4x_{0}}{\pi}=0\Leftrightarrow f(x_o)+ημx_o=\dfrac{4x_o}{\pi}

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *