ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΕΣ

Print Friendly, PDF & Email

Αν η εξίσωση περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μετά θέτουμε συνάρτηση f(x). Στο τέλος αποδεικνύουμε ότι η ρίζα της f(x) είναι και ρίζα της εξίσωσης.


Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση: f:[-1,2]\rightarrow\mathbb{R}. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-2}=0 έχει μία τουλάχιστον στο (-1,2)
Λύση
Για x\neq -1 και x\neq 2 η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:
f(x)+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-2}=0\Leftrightarrow (x+1)(x-2)f(x)+x-2+x+1=0
Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[g(x)=(x+1)(x-2)f(x)+2x-1 \quad \text{με}\quad x\in[-1,2]\]

Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [-1,2], ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:
g(-1)=(-1+1)(-1-2)f(-1)+2(-1)-1=-2-1=-3

    \[g(2)=(2+1)(2-2)f(2)+2(2)-1=4-1=3\]

Άρα ισχύει g(-1)g(2)<0. Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση g(x)=0 έχει μια τουλάχιστον στο (-1,2).
Δηλαδή υπάρχει x_o\in(-1,2) τέτοιο ώστε:
g(x_o)=0\Leftrightarrow(x_o+1)(x_o-2)f(x_o)+x_o-2+x_o+1=0\Leftrightarrow

    \[\Leftrightarrow f(x_o)+\dfrac{1}{x_o+1}+\dfrac{1}{x_o-2}=0\]

Δηλαδή το x_o\in(-1,2) είναι ρίζα και της αρχικής εξίσωσης.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *