ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα \left[ \alpha ,\beta \right]. Αν ισχύει ότι:
* Η f είναι συνεχής στο \left[ \alpha , \beta \right] και
* f(\alpha) \cdot f(\beta)<0
Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x_{o} \in \left( \alpha ,\beta \right) τέτοιο ώστε:

    \[f(x_{o})=0\]

Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοιχτό διάστημα \left( \alpha ,\beta \right)

Παράδειγμα

Να δειξετε ότι εξίσωση -x^{3}+3x-1=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [0,1]

Λύση

Θεωρούμε συνάρτηση f με f(x) =-x^{3}+3x-1=0 η οποία έχει πεδίο ορισμού το A_{f}=\mathbb{R}
για την οποία ισχύουν:

*f συνεχής στο [0,1]\subseteq A_{f}=\mathbb{R} ως πολυωνυμική.
*f(0)=-1 <0 και f(1)=1>0. οπότε f(0)\cdot f(1)= -1<0

Επομένως για την f, στο [0,1], ισχύουν οι προϋποθεσεις του Θεωρήματος Bolzano δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον
x_{0}\in (0,1) τέτοιο ώστε:

    \[f(x_{0})= 0 \Leftrightarrow -x_{0}^{3}+3x_{0}-1 =0.\]

Δειτε παρόμοια παραδείγματα:
http://diakopoulos.net/2015/10/08/bolzano-%CE%BC%CE%BF%CE%BD%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CE%B7-%CE%BB%CF%85%CF%83%CE%B7/#more-111

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *