ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Print Friendly, PDF & Email

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(1,2) και B(3,1). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3).

Λύση

Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

    \[f(x)=x\Leftrightarrow f(x)-x=0\]

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

    \[g(x)=f(x)-x,\quad x\in\mathbb{R}\]

Επειδή η f διέρχεται από τα σημεία A(1,2) και Β(3,1) ισχύει ότι:

    \[f(1)=2\quad\text{και}\quad f(3)=1\]

Η f είναι συνεχής στο \left[1 ,3\right]\subseteq \mathbb{R} απο υπόθεση άρα και η g με g(x)=f(x)-x, συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε:

    \[g(1)=f(1)-1=2-1=1\]

    \[g(3)=f(3)-3=1-3=-2\]

Άρα ισχύει ότι g(1)\cdot g(3)=-2<0. Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει, για την g, ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα x_{0}\in (1,3) με:

    \[g(x_{0})=0 \Leftrightarrow f(x_{0})-x_{0}=0 \Leftrightarrow f(x_{0})=x_{0}\]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *