BOLZANO ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ

Print Friendly, PDF & Email

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=2x^{3}+x-1 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,1)

ΛΥΣΗ
Η f(x)=2x^{3}+x-1 έχει πεδίο ορισμού A_{f}= \mathbb{R}
Για την f ισχύουν:

* f συνεχής στο [0,1]\subseteq A_{f}= \mathbb{R} ως πολυωνυμική συνάρτηση.
* f(0)=-1  < 0 και f(1)= 2 >0 οπότε έχουμε: f(0)\cdot f(1) =-2 <0.

Συνεπώς για την f, στο [0,1], ισχύουν οι προϋποθεσεις του θεωρήματος \textlatin{Bolzano} δηλαδή
υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \in (0,1) τέτοιο ώστε f(\xi) =0
Για να δείξουμε οτι αυτη η ρίζα είναι μοναδική αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη συνάρτηση.
Έχουμε:
Για κάθε x_{1}, x_{2} \in A_{f} με x_{1} < x_{2} ισχύει:

    \[x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow x_{1}^{3}< x_{2}^{3} \Leftrightarrow 2x_{1}^{3}< 2x_{2}^{3}. \, (1)\]

    \[x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow x_{1} -1< x_{2} -1.  \, (2)\]

Προσθέτοντας κατα μέλη τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε:
(1)+(2) \Rightarrow 2x_{1}^{3}+ x_{1} -1< 2x_{2}^{3}+x_{2} -1\Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2})

Τελικά έχουμε ότι: x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1})< f(x_{2}), άρα η f γνησίως αύξουσα στο A_{f}= \mathbb{R}.
Επομένως η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική λύση στο (0,1)\in A_{f}.

Facebooktwittergoogle_pluslinkedinmailFacebooktwittergoogle_pluslinkedinmail

One thought on “BOLZANO ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ”

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *