ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2\]

για κάθε x\in\mathbb{R}.
Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την f'(0).
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{         	\begin{tabular}{ll} 				$x^3,  \quad x \geq2$ \\ 				$x^2+\alpha x+\beta, \quad x < 2$  			\end{tabular} 		\right.  		\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha,\beta\in\mathbb{R}, ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 2.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Όταν μας ζητούν να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης f(x) πολλαπλού τύπου σε ένα σημείο x_o στο οποίο αλλάζει ο τύπος εργαζόμαστε ως εξής:
* Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια:

    \[\lim_{x \to x_o^-}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και

    \[\lim_{x \to x_o^+}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

* Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με έναν πραγματικό αριθμό l τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x_o και ισχύει f'(x_o)=l. Σε κάθε άλλη περίπτωση η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_o.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_o του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

    \[ \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_o και συμβολίζεται με f'(x_o). Δηλαδή:

    \[f'(x_o)=\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Αν, τώρα στo όριο θέσουμε
x=x_o+h  \,\, (1), τότε έχουμε

    \[x \to x_{o}\overset{(1)}{\Rightarrow}x_o+h \to x_{0} \Rightarrow h \to x_{0}-x_{0}\Rightarrow h \to 0\]

Επίσης x-x_{0} \overset{(1)}{=} x_{0} +h -x_{0} =h άρα

f'(x_o)=\displaystyle\lim_{x \to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\Leftrightarrow f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}

Συνεπως ο ισοδύναμος ορισμός υπολόγισμου της παραγώγου είναι:

    \[f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα A. Τότε το σύνολο τιμών της f το f(A) θα είναι το παρακάτω στις αντίστοιχες περιπτώσεις:

  • A=\left[\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε
    f(A)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]
  • A=\left[\alpha,\beta\right] με fΓνησίως φθίνουσα τότε
    f(A)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]
  • A=\left(\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]
  • A=\left(\alpha,\beta\right]με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}
  • A=[\alpha,\beta) με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
  • A=[\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]
  • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
  • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσατότε f(A)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο \left[\alpha,\beta\right], τότε η f παίρνει στο \left[\alpha,\beta\right] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m.
Δηλαδή, υπάρχουν x_1,x_2\in\left[\alpha,\beta\right] τέτοια ώστε, αν m=f(x_1) και M=f(x_2), να ισχύει

    \[m\leq f(x)\leq M, \quad \text{για κάθε} \quad x\in\left[\alpha,\beta\right]\]

Αν m =M Τότε η f είναι σταθερή στο [\alpha , \beta]
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:[-3,3]\to\mathbb{R} για την οποία ισχύει
x^2+f^2(x)=9, \quad για κάθε x \in[-3,3].

i) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
ii) Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0,3) να βρείτε τον τύπο της f.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα
Δίνεται συνεχής f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, με f(x)\neq 0 για κάθε x\in\mathbb{R}, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(0,3). Να βρείτε το όριο

    \[\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\left[f(-2)x^{3}+5x^2-3x+1\right]}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

Παράδειγμα
Να μελετήσετε τη συνάρτηση f(x)=\sqrt{2}συνx-1

ως προς τα πρόσημα στο διάστημα \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΡΙΖΑ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ εργαζόμαστε ως εξής:
* Λύνουμε την εξίσωση f(x)=0
* Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.
* Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που δημιουργούνται επιλέγουμε κατάλληλο αριθμο \xi και βρίσκουμε το πρόσημο της τιμής f(\xi). Το πρόσημο αυτό έχει η f σε ολόκληρο το αντίστοιχο υποδιάστημα.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ